【問題10】 NANDゲートは“万能ゲート”：完全マスター！ 電子回路ドリル II（10）

「論理演算の定理」を適用して、同じ機能を持つ回路を“もっと少ないゲートで構成する方法”について詳しく解説します。

[横田一弘 埼玉県立新座総合技術高等学校 教諭，＠IT MONOist]

【問題9】の解答

　前回の宿題【問題9】は、「多数決回路」をできるだけ少ないゲートで作成するという問題でした。

　皆さん解けましたでしょうか？

　解けた方も解けなかった方も答え合わせをして、次項の解説までぜひ読んでみてください。毎週コツコツ問題を解いて、デジタル回路の基礎知識を身に付けましょう。

　それでは、解答を発表します！

問題9

答え．

【問題9】の解説

　最初に、【問題7】の解説で説明した真理値表から論理式を導く方法を用いて、【問題9】のデジタル回路を作ってみましょう。

　真理値表の出力が“1”の行に注目して、次のように論理式を求めます。

X ＝ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C

　この論理式を回路にすると図1のようになります。

図1　多数決回路（その1）

　【問題9】では「同じ機能を持つ回路を、もっと少ないゲートで構成できないか？」を問うています。そこで、中学校で習う「式の変形」のように論理式を変形し、同じ応答をするより簡単な論理式を求めてみましょう。

　論理式の変形は、次のような「論理演算の定理」を適用して行います。

復元の法則

　二重否定すると、その値は元に戻ります。

=
A ＝ A

冪（べき）等の法則

　値自体を論理和（あるいは論理積）しても結果は同じになります。

A ＋ A ＝ A　　　　　　　　　　A ・ A ＝ A

相補の法則

　ある論理変数とそれを否定したものの論理和は“1（真）”になり、ある論理変数とそれを否定したものの論理積は“0（偽）”になります。

A ＋ A ＝ 1　　　　　　　　　A ・ A ＝ 0

恒等の法則

　論理和と論理積には、次のような性質があります。

A ＋ 0 ＝ A　　　　　　　　　　A ・ 0 ＝ 0

A ＋ 1 ＝ 1　　　　　　　　　　A ・ 1 ＝ A

交換の法則

　論理和と論理積の左辺と右辺を入れ替えても結果は同じです。

A ＋ B ＝ B ＋ A　　　　　　　　　　A ・ B ＝ B ・ A

結合の法則

　論理和と論理積は、演算を評価する順番にかかわらず同じ結果になります。

（A ＋ B） ＋ C ＝ A ＋ （B ＋ C）　　　　　（A ・ B） ・ C ＝ A ・ （B ・ C）

分配の法則

　論理和は論理積に対して分配的であり、論理積は論理和に対して分配的です。

A ＋ （B ・ C） ＝ （A ＋ B） ・ （A ＋ C）　　　A ・ （B ＋ C） ＝ （A ・ B） ＋ （A ・ C）

吸収の法則

　論理式が積の和の形で表され、すべての因数となる項を含むとき、その項に式を省略することができます。論理式が和の積の形で表される場合も同様です。

A ＋ （A ・ B） ＝ A　　　　　A ・ （A ＋ B） ＝ A

ド・モルガンの法則

　ド・モルガンの法則により、論理和を論理積に、論理積を論理和に変換できます。

A ＋ B ＝ A ・ B　　　　　A ・ B ＝ A ＋ B

　それでは、これらの論理演算の定理を適用して、先に求めた「多数決回路」の論理式を簡単にしてみましょう。

X ＝ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C

は「冪等の法則」により、

X ＝ （A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C） ＋ （A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C） ＋ （A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C）

と展開できます。

　さらに、この式は「分配の法則」により、

X ＝ B ・ C ・ （A ＋ A） ＋ A ・ C ・ （B ＋ B） ＋ A ・ B ・ （C ＋ C）

とまとめられます。

　そして、「相補の法則」により、

X ＝ B ・ C ＋ A ・ C ＋ A ・ B

と簡単化できます。

　この論理式を基に作成した「多数決回路」が図2となります。

図2　多数決回路（その2）

　このように図1よりも少ないゲートで回路を実現することができます。

次回までの宿題 ― 【問題10】

問題10

NANDゲートを使って、NOT、AND、ORを作ってください

答え． 解答はこちら（←クリック）