「ふく射」による熱の伝わり：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（7）（3/9 ページ）

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

2つの黒体面間の熱のやりとり

　先に「立体角」について説明します。図5左図において角度θをラジアンで表すと式16となります。半径に角度を掛けると弧長Lが求まります。

図5　ラジアンで表した角度と立体角［クリックで拡大］

式16

　図5右図において、立体角Ωは次式で定義されます（式17）。Sは面積です。

式17

　ここから小さな面が見えているとします。小さな面の立体角との距離が分かれば小さな面の見掛けの面積が求まります。

　図6に2つの黒体面間の熱のやりとりを示します。微小な面ΔA₁とΔA₂とを結ぶ線を引きます。この線とΔA₁の法線とのなす角をφ₁、そしてこの線とΔA₂の法線とのなす角をφ₂とします。

図6　2つの黒体面間の熱のやりとり［クリックで拡大］

　今、放射強度Iという量を使います。面が表側の周囲に放射する単位面積、単位立体角当たりのエネルギーです。単位は［W/m².sr］です。ΔA₁からΔA₂に単位時間当たりに放射されるエネルギーは式18で表されます。

式18

　ΔA₁からΔA₂に放射されるエネルギーは、I₁ΔA₁ΔΩ₁でよいかと思われますが、cosφ₁が付くのが「ランバートの余弦法則（Lambert cosine law）」です（参考文献［1］）。このcosは放つ側のcosです。

　立体角の定義からΔΩ₁は式19で表されます。このcosはΔA₂が傾いているためです。sは2つの面間の距離です。

式19

　式19を式18に代入します（式20）。

式20

　ΔA₂からΔA₁に単位時間当たりに放射されるエネルギーは、式21で表されます。

式21

　ΔA₁からΔA₂に単位時間当たりに伝わるエネルギーは、次式となります（式22）。

式22

　放射強度と温度は次式の関係があります（式23）。

式23

　式22を式23に代入し、積分すれば、A₁面からA₂面に単位時間当たりに伝わるエネルギーとなります（式24）。

式24

　T₁、T₂が一定温度の場合、式24のσ（T₁⁴−T₂⁴）を積分の前に出せます（式25）。

式25

　式25の積分は、A₁面とA₂面の位置関係だけで決まります。今、形態係数F₁₂を導入すると、式25の積分は次式のように表すことができます（式26）。

式26

　形態係数F₂₁を導入しましょう。対称性から式27が成立します。

式27

　A₁面からA₂面に単位時間当たりに伝わるエネルギーは次式となります（式28）。

式28