「ふく射」による熱の伝わり：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（7）（8/9 ページ）

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

式34の考察

　もう少しだけお付き合いください。天下り的に示した式34を確かめてみましょう。図20に示すような2つの壁を考えます。

図20　2つの壁の熱のやりとり：もともと壁1にあった熱［クリックで拡大］

　もともと壁1にあった熱の放射と反射を考えます。

　壁1が全空間に放射する熱量は以下の式です。

Q₁＝ε₁σT₁⁴A₁

　そのうち、壁2に到達する熱量は以下の式です。

Q_{1→2 1st}＝Q₁F₁₂＝ε₁σT₁⁴A₁F₁₂

　上記の熱が壁2で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂

　上記の熱が壁1に到達する熱量は以下の式です。

Q_{2→1 1st}＝（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂F₂₁

　上記の熱が壁1で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₁）（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂F₂₁

　上記の熱が壁2に到達する熱量は以下の式です。

Q_{1→2 2nd}＝（1−ε₁）（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂F₂₁F₁₂

　上記の熱が壁2で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₂）（1−ε₁）（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂F₂₁F₁₂

　上記の熱が壁1に到達する熱量は以下の式です。

Q_{2→1 2nd}＝（1−ε₂）（1−ε₁）（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂F₂₁F₁₂F₂₁

　上記の熱が壁1で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₁）（1−ε₂）（1−ε₁）（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂F₂₁F₁₂F₂₁

　上記の熱が壁2に到達する熱量は以下の式です。

Q_{2→1 3rd}＝（1−ε₁）（1−ε₂）（1−ε₁）（1−ε₂）ε₁σT₁⁴A₁F₁₂F₂₁F₁₂F₂₁F₁₂

　もともと壁1にあった熱が壁2に到達する熱量の総和は次式となります（式53）。

式53

　初項がε₁σT₁⁴A₁F₁₂、項比が（1−ε₁）（1−ε₂）F₂₁F₁₂の等比級数です。式54となります。

式54

　もともと壁1にあった熱なのですが、壁2での反射によって壁1に到達する熱量は次式となります（式55）。

式55［クリックで拡大］

　これも等比級数なので次式となります。

式56

　次は、もともと壁2にあった熱の放射と反射を考えます。図21を使います。

図21　2つの壁の熱のやりとり：もともと壁2にあった熱［クリックで拡大］

　壁2が全空間に放射する熱量は以下の式です。

Q₂＝ε₂σT₂⁴A₂

　そのうち、壁1に到達する熱量は以下の式です。

Q_{2→1 1st}＝Q₂F₂₁＝ε₂σT₂⁴A₂F₂₁

　上記の熱が壁1で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁

　上記の熱が壁2に到達する熱量は以下の式です。

Q_{1→2 1st}＝（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁F₁₂

　上記の熱が壁2で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₂）（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁F₁₂

　上記の熱が壁1に到達する熱量は以下の式です。

Q_{2→1 2nd}＝（1−ε₂）（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁F₁₂F₂₁

　上記の熱が壁1で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₁）（1−ε₂）（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁F₁₂F₂₁

　上記の熱が壁2に到達する熱量は以下の式です。

Q_{1→2 2nd}＝（1−ε₁）（1−ε₂）（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁F₁₂F₂₁F₁₂

　上記の熱が壁2で全空間に反射する熱量は以下の式です。

（1−ε₂）（1−ε₁）（1−ε₂）（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁F₁₂F₂₁F₁₂

　上記の熱が壁1に到達する熱量は以下の式です。

Q_{2→1 3rd}＝（1−ε₂）（1−ε₁）（1−ε₂）（1−ε₁）ε₂σT₂⁴A₂F₂₁F₁₂F₂₁F₁₂F₂₁

　もともと壁2にあった熱が壁1に到達する熱量の総和は次式となります（式57）。

式57［クリックで拡大］

　もともと壁2にあった熱が壁1での反射によって壁2に到達する熱量は次式となります（式58）。

式58［クリックで拡大］

　壁1から壁2への熱の移動量は、壁1から壁2に到達する熱量から壁2から壁1に到達する熱量を差し引いたものなので次式となります（式59）。

式59