機構制御系のモデリング（その3） 〜回転2関節機構の運動学・動力学を考える〜：1Dモデリングの勘所（38）（1/5 ページ）

「1Dモデリング」に関する連載。連載第38回では「機構制御系のモデリング（その3）」と題し、回転2関節機構の運動学、動力学を考えるについて考える。

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

　前回は“回転1関節機構系”を取り上げ、モーター、弾性アーム、質量からなる機構系で、先端（質量位置）を決められた時間で、決められた位置に移動させるという設計問題を制御も考慮して扱った。今回は運動学と動力学、順問題と逆問題の定義について述べ、その具体例として“回転2関節機構の運動学（順問題、逆問題）、動力学（順問題、逆問題）”について考える。

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運動学と動力学

　機構問題を扱うには大きく2つの方法がある。一つは機構の動きのみを考えるもので、「運動学（Kinematics）」と呼ばれる。もう一つは、機構が運動する際の慣性力を考慮したもので、「動力学（Kinetics）」と呼ばれる。動力学で慣性力を無視したものが運動学ともいえる。

　また、各関節の動きを与えて、先端の位置を求めることを「順問題」という。一方、機構先端の位置を所定の動きにするための、各関節の動き（動力学の場合には駆動トルクも）を求めることを「逆問題」という。以上を整理すると図1となる。

図1　運動学と動力学［クリックで拡大］

運動学（順問題）

　図2に示す回転2関節機構について考える。

図2　回転2関節機構（運動学）［クリックで拡大］

　リンク1の長さをL₁、リンク2の長さをL₂とし、第1関節の角変位をθ₁、第2関節の各辺をθ₂とすると、先端（x，y）の位置は、

式1

となる。これが、回転2関節機構の順運動学の解となる。

　一方、機械系の1Dモデリングで用いられる業界標準の表現言語「Modelica」を用いると、順運動学の式を用いてリスト1のように、数値的に解くことができる。ここでは、各関節の角変位を一定角速度で動かした場合の先端（x，y）の動きを求める。

model staticJun

import Modelica.Constants.pi;

import Modelica.Constants.g_n;

Real theta1;

Real theta2;

Real x;

Real y;

parameter Real L = 2;

parameter Real omg1 = 2*pi;

parameter Real omg2 = 2*pi;

equation

x = L*cos(theta1) + L*cos(theta1 + theta2);

y = L*sin(theta1) + L*sin(theta1 + theta2);

theta1 = omg1*time;

theta2 = omg2*time;

end staticJun;

リスト1　Modelicaでテキスト表現

　リスト1の解析例を図3に示す。図3左図は機構先端の動きの時間変化を、図3右図は横軸にx、縦軸にyを取った、いわゆる「リサージュ波形」を示す。そして、図4にオープンソースのモデリング環境「OpenModelica」でリサージュ波形を描く方法を示す。

図3　運動学順問題（解析例）［クリックで拡大］

図4　「OpenModelica」でリサージュ波形を描く方法［クリックで拡大］