現象のモデリングの勘所 〜現象の式のマトリクス表現〜：1Dモデリングの勘所（43）（1/3 ページ）

「1Dモデリング」に関する連載。連載第43回では「現象のモデリングの勘所」をテーマに取り上げる。

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

　まず、現象のモデリングについておさらいしたい。現象のモデリングは、基本的に状態変数のフローを追いながら（電気回路を描くように）フロー図を作成し、この図に基づいて電流則と電圧則（キルヒホッフの法則）を用いて式を導出し、解くという手順で行われる。

　この手法自体に何ら問題はない。だが、図を描いた段階では視覚的に理解できるものの、式になると（これは式表現の宿命ではあるが）変数間の関係が分かりにくくなる。これは、式の中で独立変数と従属変数が明確でないことに起因している。そこで今回は、現象の式をマトリクス表現にすることで、この問題の改善を試みる。

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ドライヤーのモデリングの振り返り（参考文献［1］）

　図1の現象の共通表現用法を用いて、フロー図の作成と定式化を行った。

図1　現象の共通表現［クリックで拡大］

　図1に従って、ドライヤーのモデリングを行う。図2に、ドライヤーのフロー図を示す。

図2　ドライヤーの熱モデル［クリックで拡大］

　この図では、ジュール熱Q_inの流入を起点として、ドライヤー各部への熱の流れを表しており、それぞれの温度（ヒーター、出口流れ、筐体）を求めている。流れ自体はその流量を外部（電気、モーター、ファンの連成解析）で求め、ヒーターの入り口に入力している。つまり、流れの入り口温度はT_rで、出口温度はT₂である。これを踏まえると、

式1

となる。q、ρ、cはそれぞれ、空気の風量、密度、比熱である。同様に、

式2

となる。このあたりの説明は、前回の内容では不十分であった。

　図2を基に定式化すると以下となる。

　熱の流れの連続性（電流則）から、

式3

が成り立つ。各要素の熱コンダクタンスに関しては、

式4

となる。さらに、ヒーターの熱容量C₁［J/K］、出口温度と室温間の熱コンダクタンスG₄［W/K］、筐体の熱容量C₃［J/K］に関しては、

式5

となる。これらを用いれば各部の温度、熱量が求まる。このとき、独立変数はQ_in、T₁、T₂、T₃のみであり、他の変数は全て従属変数である。このことは上式からも、図2からも分かりにくい。

参考文献：

• ［1］1Dモデリングの勘所（33）：フローで考える熱のモデリング（その3） 〜ドライヤーを例に熱のモデリングを行う〜