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» 2015年02月18日 10時00分 公開

「滑らか」って何だ!? ――曲線と曲面のお話3次元って、面白っ! 〜操さんの3次元CAD考〜(42)(2/5 ページ)

[水野操 テクノロジーコラムニスト/3D-GAN,MONOist]

G1連続と接線連続

 次に出てくるのが「G1」です。「G1連続」になるためには、まず前提条件としてG0の条件を満たしている必要があります。その上で、「曲線Aと曲線Bがつながっている端点」「その接線の方向も一致している」という2つの条件が満たされた時、初めて「G1連続」あるいは「接線連続」である、という言い方をします。

 この典型的な例は、エッジなどの角に掛ける普通のフィレットであるといえましょう。その理由はまたあらためて説明します。

図5:接線連続(G1)

曲率連続

 まあ、ちょっとしたものにフィレットを掛けていくと、カクカクしたものがかなり丸みを帯びて見えたりしますが、曲線や曲面的に言えば、これよりもっと滑らかな線や面があります。ということで「曲率連続」が登場します。

 曲線AとBの話を続けますと、この2つの線がG1連続でつながっていて、かつその端点での曲率の値も一致している時に「曲率連続である」という言い方をします(図6)。

図6:曲率連続

 曲率そのものの定義ですが、つまるところ、まさに「その曲線の、曲り具合」であり、言い換えると、「直線からの離れ具合」のことを言います。だから、直線の曲率は0になるわけですね。もう少し難しい言い方をすれば、曲線のある箇所に任意の点を定義し、その点において、曲線にフィットする円の半径を「曲率半径」と言いますが、曲率はその逆数になります(図7)。

 「曲率」=1/「曲率半径」

図7:曲率の定義

 ちなみに、一応数学的にいうと、曲率は図8のように表します。

図8:数学的な曲率の定義

 図8の曲線は、

 P(t)=[x(t)y(t)z(t)]

 で表せます。

 この時、この曲線の曲率、κは

という形で表せます。

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