ダクトに巻く断熱材を設計する：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（18）（3/3 ページ）

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

連続の式とベルヌーイの式

　紙面に余裕があるので、連続の式とベルヌーイの式について紹介します。まずは質量保存則から出発しましょう。図5に、微小直方体に流体が流入し、流出している様子を示します。

図5　微小直方体の流入と流出［クリックで拡大］

　単位時間当たりに流入する質量は、式17で表されます。m_inの頭に付いている「・」は、時間微分を意味します。

式17

　単位時間当たりに流出する質量は、式18で表されます。

式18

　流入する質量と流出する質量の差は、微小直方体の質量変化です。このとき、流体は膨張や圧縮をしている非圧縮流体であると仮定します。今、単位体積当たりの質量変化をΔm（※正しくは、mの上に「・」付き）と表記しましょう。微小直方体の体積は変化しないため、変わるのは密度ρのみです。Δm（※正しくは、mの上に「・」付き）は式19で表されます。

式19

　質量保存則に従えば、流入する質量と流出する質量の差は、式19と等しくなります。ここが質量保存則の要点です。

式20

　式20に、式19を代入して計算を進めていきましょう。ここで、皆さんが頭にたたき込んでくれたであろう、あの式の出番です。ここでは少し省略した書き方をします。密度ρおよび流速uは時間と座標の関数ですが、密度と流速の掛け算（ρu（x，t））を1つの変数として、これも時間と座標の関数とします。

式21

　この右辺を左辺に移項し、3次元の形に拡張します。

式22

　比質量と流速の積をベクトルで表記します。ベクトルは太字で示します。

式23

　ハミルトン演算子（ナブラ∇）は式24のように定義されます（参考文献［2］）。

式24

　式22、式23、式24を見ると、式22の第2項、第3項、第4項は、ナブラ∇とρuの内積で表されることが分かります。式22は次式のように表現できます。

式25

　式25は、発散div（divergence）の記号を使って、以下のようにも書けます。

式26

　カッコよくなりましたが、もう少しかみ砕いてみましょう。流体が膨張も圧縮もしない、すなわち非圧縮流体であれば密度は一定なので、式26は次のようになります。

式27

　この式27は体積保存則、すなわち連続の式です。式27の右辺がゼロでない場合、それは流体が“異次元から湧き出している”ことに相当します。いくつかの流体解析ソフトウェアでは、このような湧き出しをシミュレーションに組み込むことが可能です。湧き出しを利用することで、モデルや境界条件の設定を簡素にできて便利です。

　連続の式は、図6を用いて式28で表した方が分かりやすいですね。

図6　連続の式［クリックで拡大］

式28

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　ベルヌーイの式については、次回説明します。　（次回へ続く）

参考文献：

• ［1］日本機械学会｜伝熱工学資料 改訂第4版（1999）
• ［2］矢野健太郎｜解析学概論｜裳華房（S53）

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Profile

高橋 良一（たかはし りょういち）
ＲＴデザインラボ 代表

1961年生まれ。技術士（機械部門）、計算力学技術者 上級アナリスト、米MIT Francis Bitter Magnet Laboratory 元研究員。

構造・熱流体系のCAE専門家と機械設計者の両面を持つエンジニア。約40年間、大手電機メーカーにて医用画像診断装置（MRI装置）の電磁振動・騒音の解析、測定、低減設計、二次電池製造ラインの静音化、液晶パネル製造装置の設計、CTスキャナー用X線発生管の設計、超音波溶接機の振動解析と疲労寿命予測、超電導磁石の電磁振動に対する疲労強度評価、メカトロニクス機器の数値シミュレーションの実用化などに従事。現在ＲＴデザインラボにて、受託CAE解析、設計者解析の導入コンサルティングを手掛けている。⇒ ＲＴデザインラボ