有限要素法入門 〜連立方程式の解法、変位の計算〜CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる(3)(3/7 ページ)

» 2024年04月15日 09時00分 公開

要素内部の変位を式で表そう

 図5に示した要素内部の任意の点(x,y)の変位を求める式を作りましょう。この式が有限要素法の解析精度を決定づけます。

要素の節点座標と変位 図5 要素の節点座標と変位[クリックで拡大]

 手掛かりとなる情報は以下の6つです。

  • i節点において、つまり座標(xi,yi)において、x方向変位はuiである
  • i節点において、つまり座標(xi,yi)において、y方向変位はviである
  • j節点において、つまり座標(xj,yj)において、x方向変位はujである
  • j節点において、つまり座標(xj,yj)において、y方向変位はvjである
  • k節点において、つまり座標(xk,yk)において、x方向変位はukである
  • k節点において、つまり座標(xk,yk)において、y方向変位はvkである

 要素内部の任意の点(x,y)の変位を求める式を次式としましょう。

式24 式24
式25 式25

 先に答えを言っておくと、式24式25はx,yの1次式です。よって、このような要素を「1次要素」といいます。未知数はα0,α1,α2,β0,β1,β2と6個、手掛かりとなる情報も6個です。連立方程式を解けば式24式25が作れそうです。連立方程式は以下となります。

式26-1 式26-1
式26-2 式26-2
式26-3 式26-3
式26-4 式26-4
式26-5 式26-5
式26-6 式26-6

 3元連立方程式が2セットになりました。式26-1式26-2式26-3をマトリクス表示すると次式となります。

式27 式27

 行列式を使った連立方程式を求める方法を使います。未知数は次式となります。

式28 式28
式29 式29
式30 式30
式31 式31

 β0,β1,β2も同じ方法で求まりますね。

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