領域最適化の基本的な考え方を理解する：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（11）（3/5 ページ）

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

領域Ωsを求めるってどういうこと？

　「物体力と外力がなす仕事量が最小になるような領域Ωsを求めてください」というのが命題でした。筆者が経験した数学は、数を求めることでした。例えば、領域をスプライン曲線で表現し、スプライン曲線のパラメータを求めるというのなら分かります。しかし、今回はパラメータなしの領域Ωsを求める問題です。さて、どうするのでしょうか。

　目的関数は式1、制約関数は式2、式3なので、ラグランジュ関数Lは次式で定義できます。ここでラグランジュ乗数はwとΛとなります。

式19

　ラグランジュ関数Lを微分したものがゼロというのが「ラグランジュ未定乗数法」でした。ラグランジュ関数Lを微分したものは、参考文献［1］［2］［3］によると式20で示されています。本連載で、あえて使ってこなかったドット「・」（ニュートンの記法）は微分を意味し、LのEular導関数、あるいは物質導関数です。ダッシュ「’」（ラグランジュの記法）も微分を意味し、Lの形状導関数です。このあたりの詳細については、参考文献［1］［2］［3］を確認してみてください。

式20

　l_G（V）は次式で表されます。

式21

　2つのベクトルVとGが登場しました。

　図1は、初期領域Ωと変動後の領域Ωsとの1対1の写像と捉えることができて、写像T_sとして表現できます。写像の関係を次式で表現します。

式22

　媒介変数sは「変動の履歴」を表しています。領域の変動は、次のような初期条件と微分方程式を用いて表現できます。

式23

式24

　上式は微分なので、ベクトルVは、最初の位置がXの点の移動経路（直線ではなく曲線です）が、xに至ったときの移動の方向（速度場）と解釈できます。Vは1階微分なので形式的に次式を書くこともできます。Taylor展開ですね。O（|Δs|）は微小項です。

式25