有限要素法入門 〜要素剛性マトリクスの導出〜：CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる（4）（4/7 ページ）
» 2024年05月20日 09時00分 公開
[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]
おまけ：アイソパラメトリック要素
2次元四角形要素と3次元六面体要素の要素剛性マトリクスについて説明します。要素剛性マトリクスはどのような要素でも式26と式27で求まりますが、図4に示す20節点六面体要素を考えてみましょう。
6つの面は曲面です。これを体積積分するのですが、やる気が出るでしょうか……。出ませんね。座標変換して体積積分を簡単にしましょう。取りあえず2次元四角形1次要素から始めます。図5に示したように、1辺の長さが2［m］の正方形に座標変換します。
座標変換のための式は次式となります。
式28左下のi節点に注目します。ξ＝−1、η＝−1のとき、式28の左辺と右辺の値はxiとならなければなりません。ということは、Gi（−1，−1）＝1となってもらい、それ以外のG（ξ，η）はゼロとなってもらうと都合がいいです。次式となります。
式29
式30右下のj節点に注目します。ξ＝1、η＝-1のとき、式28の左辺と右辺の値はxjとならなければなりません。ということは、Gj（1，−1）＝1となってもらい、それ以外のG（ξ，η）はゼロとなってもらうと都合がいいですね。次式となります。
式31
式32k節点、l節点も同様に考えると、G（ξ，η）は次式となります。
式33
式34式29、式31、式33、式34を満たすG（ξ，η）は次式となります。
式35変位u、vがx、yの関数で、座標x、yがξ、ηの関数であるとき、u、vの微分は次式で表されます。
式36
式37マトリクス［J］は次式で定義しました。
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