デジタルツインを実現するCAEの真価

有限要素法入門 〜要素剛性マトリクスの導出〜CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる(4)(4/7 ページ)

» 2024年05月20日 09時00分 公開

おまけ:アイソパラメトリック要素

 2次元四角形要素と3次元六面体要素の要素剛性マトリクスについて説明します。要素剛性マトリクスはどのような要素でも式26式27で求まりますが、図4に示す20節点六面体要素を考えてみましょう。

20節点六面体要素 図4 20節点六面体要素[クリックで拡大]

 6つの面は曲面です。これを体積積分するのですが、やる気が出るでしょうか……。出ませんね。座標変換して体積積分を簡単にしましょう。取りあえず2次元四角形1次要素から始めます。図5に示したように、1辺の長さが2[m]の正方形に座標変換します。

2次元四角形1次要素の座標変換 図5 2次元四角形1次要素の座標変換[クリックで拡大]

 座標変換のための式は次式となります。

式28 式28

 左下のi節点に注目します。ξ=−1、η=−1のとき、式28の左辺と右辺の値はxiとならなければなりません。ということは、Gi(−1,−1)=1となってもらい、それ以外のG(ξ,η)はゼロとなってもらうと都合がいいです。次式となります。

式29 式29
式30 式30

 右下のj節点に注目します。ξ=1、η=-1のとき、式28の左辺と右辺の値はxjとならなければなりません。ということは、Gj(1,−1)=1となってもらい、それ以外のG(ξ,η)はゼロとなってもらうと都合がいいですね。次式となります。

式31 式31
式32 式32

 k節点、l節点も同様に考えると、G(ξ,η)は次式となります。

式33 式33
式34 式34

 式29式31式33式34を満たすG(ξ,η)は次式となります。

式35 式35

 変位u、vがx、yの関数で、座標x、yがξ、ηの関数であるとき、u、vの微分は次式で表されます。

式36 式36
式37 式37

 マトリクス[J]は次式で定義しました。

式38 式38

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