パラメトリック最適化に挑戦する：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（2）（1/4 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第2回では片持ちはりをモチーフに、パラメトリック最適化について解説を始める。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

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　本連載で取り上げる形状最適化は、以下の3つとなります。

• パラメトリック最適化
• トポロジー最適化
• 領域最適化

　「パラメトリック最適化」については手計算で、「トポロジー最適化」と「領域最適化」に関しては、フリーのFEM（有限要素法）ソフトウェアとマクロプログラム付き「Excel」を用いて解説していきます。

⇒ 連載バックナンバーはこちら

パラメトリック最適化について

　まず、パラメトリック最適化から説明します。例えば、図1のような部品の設計を考えましょう。形状がいくつかのパラメータで定義されていて、3D CADによる形状定義は「パラメータ設計」といってよいでしょう。図1の場合、寸法値が設計パラメータです。ここでは、荷重Fに対する変形量が最小となるようなパラメータを求めることを目標とします。連載第1回でも述べましたが、変形量を最小化する目標を達成した形状の応力分布は、応力の高いところと応力の低いところが均一化されていて、強度面でも最適化されている場合が多いです。

図1　パラメトリック設計［クリックで拡大］

　図1ではパラメータが多過ぎるので、今回は図2に示すような穴のない片持ちはりをモチーフにします。高さhが座標xの関数で、h＝axⁿであるとします。荷重に対する変位が最小となる、つまり剛性が最大となるパラメータnとaはいくらになるでしょうか。

式1

図2　高さが変化する片持ちはり［クリックで拡大］

片持ちはりの応力

　「何をいまさら」と思われるでしょうが、片持ちはりの応力をおさらいしておきましょう。曲げモーメントはM（x）＝Wx、最大曲げモーメントははりの根元で発生し、M_max＝WLですね。

図3　片持ちはり［クリックで拡大］

　xの位置の曲げ応力はxとyの関数となり、式2で表されます。

式2

　上下端（y＝±h／2）の応力は式3となります。

式3

　断面二次モーメントIは式4でした。

式4

　今、はりの高さhが座標xによって、h（x）＝axⁿのように変化するとしましょう。断面二次モーメントは式5となります。

式5

　式5と式1を式3に代入し、プラスの応力だけを考えましょう。

式6

　xのどの位置でもσ（x）が変化しないようなはりを考えます。つまり、σ（x）がxの関数でなくなるようなはりです。式6において、1－2nがゼロになればσ（x）がxの関数ではなくなりますね（式7）。

式7

　式7を式1に代入します。

式8

　はりの高さh（x）がxのルートに比例するようにすれば、xのどの位置でも曲げ応力が一定となります。平等強さのはりですね。しかし、これから求めるのは、荷重Wに対する変位が最小になるようなはりです。どうなるのでしょうか。

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