メカトロ機器を素早く動かしたい、LMガイドの剛性を見積もる：冴えない機械の救いかた（11）（3/4 ページ）
LMガイドの剛性を見積もってみよう
LMガイドの剛性、つまり外力やモーメントが作用したときの変位量と回転角を見積もってみましょう。モーメントと回転角には、回転の方向としてピッチ角、ヨー角、ロール角がありますが、船を想像すると覚えやすいと思います。図7に、船をモデルにしたピッチ角、ヨー角、ロール角の定義を示します。
図8にLMガイドに作用する荷重を示します。並進方向の荷重を3種類、モーメント荷重を3種類定義できます。
ここでは、ホリゾンタル荷重に対するLMブロックの変位と、ヨーイングモーメントに対する回転角を見積もってみましょう。荷重÷変位、モーメント÷回転角がばね定数となります。
「ホリゾンタル荷重÷ホリゾンタル変位」として、ホリゾンタル荷重に対する剛性（ばね定数）を求めましょう。もう1つのばね定数として、「ヨーイングモーメント÷ヨー角」を求めます。図9に解析モデルを示します。
最初のばね定数「ホリゾンタル荷重÷ホリゾンタル変位」の計算におけるホリゾンタル変位は、球のつぶれ量の倍ですね。次式で表しましょう。
式6式3を変形します。
式3（再掲）
ボールのつぶれ量と荷重の関係が分かりました。つぶれたボールは8個なので、LMブロックに作用する力はその8倍です。ばね定数は「荷重÷変形量」でした。ホリゾンタル荷重に対するばね定数kは式8となります。
式8弾性変形挙動は非線形なので、式8右辺に変位δがあります。後で比較するときには、変位δの数値の選定に注意が必要なようです。
もう1つのばね定数「ヨーイングモーメント÷ヨー角」を求めましょう。図9のLMブロックの全長をL［m］、ボールのピッチをb［m］とすると、LMブロック中心からボールまでの位置（L1、L2、L3、L4）とLは、次式で定義できます。
式9
式10今、LMブロックのヨーイング回転角をΔθとします。Δθの回転によって生じる、ボールのつぶれによるLMブロックとLMレールの接近量Δrは、式11となります。
式11ボールのつぶれ量δの2倍が接近量Δrになるのは自明ですね。式12で書いておきましょう。
式12ヨーイング荷重に対するばね定数を求める手順を以下に記します。
式13
式14では、ボール径を3［mm］として数値を代入しましょう。表1にボール寸法とボールの機械的性質を、表2にホリゾンタル荷重によるばね定数を示します。ホリゾンタル荷重によるばね定数は5.329×107［N/m］となりました。
表3にヨーイングモーメントによるばね定数を示します。ヨーイングモーメントによるばね定数は4072［Nm/rad］です。
先ほど、ばね定数は非線形でδに依存すると書きました。表2と表3の水色着色部に示すように、ばね定数を計算するときのボールのつぶれ量が5［μm］で等しくなるようにして、それぞれのばね定数を求めています。
ホリゾンタル荷重によるばね定数は、ヨーイングモーメントによるばね定数の1万3000倍と、数値が4桁異なることを覚えておいてください。
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