ラグランジュの方程式（その1）〜仮想仕事の原理と一般座標・一般力〜：1Dモデリングの勘所（39）（2/3 ページ）

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

仮想仕事の原理の静的問題への適用

仮想仕事の原理による静的問題の解法

　仮想仕事の原理がどのように役立つのか、動的問題について考える前に、静的問題についての適用例を図3を用いて紹介する。

図3　仮想仕事の原理による静的問題の解法［クリックで拡大］

　図3（a）に示すように、長さ1m、質量10kgの2本の棒が互いに回転フリーなジョイントで接合され、さらに点Aが回転フリーで固定され、自由にスライドでき、かつ回転フリーな点Bを25Nの力で引っ張って、静的につり合った状態にあるものとする。このときの角変位θがいくつになるか、仮想仕事の原理を用いて求める。

　図3（b）のように、角変位θのときの点Bのx方向座標および各棒の重心位置のy方向座標の仮想変位は式6となる。

式6

　一方、この仮想変位による仮想仕事について、仮想仕事の原理から0とすると、

式7

となる。この式に必要な値を代入すると、

式8

となり、これを整理すると、

式9

となり、最終的には、

式10

が求まる。

通常の方法による静的問題の解法

　次に、通常の方法で図3（a）の問題を解いてみよう。このとき、さまざまな方法が考えられるが、その一例を図4を用いて説明する。

図4　通常の方法による静的問題の解法［クリックで拡大］

　まず、図4（a）に示すように、各点に作用する力を定義すると、x方向、y方向の力のつり合い式と、点A周りのモーメントのつり合い式は以下となる。

式11 ［クリックで拡大］

　式11を未知数A_x、A_y、B_yについて解くと（第3式のcosθは両辺から消去できるので計算には影響しない）、

式12

となる。

　次に、右側の棒だけに着目すると図4（b）となる。図4（a）と同様に力とモーメントのつり合い式を考えると、

式13

となる。これを解くと、

式14

となり、最終的には、

式15

となる。

　力学を理解する上では（教育的には）通常の方法がよいと個人的には考えるが、実用的には（特に構造が複雑な場合には）、仮想仕事の原理を用いる方が間違いが少ない。