原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第5回では、トポロジー最適化における密度法の定式化に取り組む。

» 2022年03月08日 10時00分公開

[高橋良一／ＲＴデザインラボ代表，MONOist]

　「トポロジー最適化」では、“剛性最大化＝平均コンプライアンス最小化”を目的として、設計パラメータρ_iを求めます。このためには、それぞれのρ_iが設計対象物のコンプライアンスに大きく作用するか、ρ_iを変えてもコンプライアンスがほとんど変わらないか、つまり“感度”を求める必要があります。例外を除き普通の有限要素法ソフトは、個別の要素の感度を出力してくれません。どのようにして、「LISA」の出力ファイルから感度に相当するものを取り出せばよいのでしょうか。

⇒ 連載バックナンバーはこちら

コンプライアンスの意味

　図1のように、物体に荷重f（単位体積当たりの荷重）が作用して、変位uが発生したとしましょう。荷重fと変位uはベクトル量なので太字で表記しています。

図1　物体への荷重と変位［クリックで拡大］

　コンプライアンスの定義として、式1が挙げられます（参考文献1）。

式1

参考文献：

［1］弓削、菊池｜塑性変形を受ける二次元構造物の最適設計（第1報、定式化）｜日本機械学会論文集（A編） 62巻 600号 P1910（1996）

　図2に示すような2次元問題にしましょう。そして、荷重は物体表面だけに作用し、単位長さ当たりの力とします。コンプライアンスは式2となります。

図2　物体への荷重と変位［クリックで拡大］

式2

　式2は「平均コンプライアンス」と呼ばれています。荷重fと変位uはベクトル量なので掛け算ではなく内積として、平均コンプライアンスを荷重が作用している辺γに対する線積分で表現しています。物体を弾性体とした場合、fとuは比例関係にあるので、その内積の積分（式2の内側の積分）は図3の着色部の面積で、荷重fがなした仕事量になります。よって、式2は式3のように書くこともできます。