円筒座標系の熱伝導について考える：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（5）（1/4 ページ）

CAE解析とExcelを使いながら冷却系の設計を“自分でやってみる／できるようになる”ことを目指す連載。連載第5回は、円筒座標系の熱伝導方程式を解き、電線やダクトなど断面が円形のものの冷却系設計を考える。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

　これまで固体内の熱伝導と伝熱界面の熱伝達について、紙と鉛筆で行う方法とCAE解析による方法を述べました。これでかなりのことはできると思います。一方、計算対象物の断面が円形のものも多いと思います。例えば、電線やダクトなどです。今回は円筒座標系の熱伝導方程式を解いて、断面が円形のものの冷却系の設計をしてみましょう。

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直交座標系、円筒座標系、球面座標系

　3つの座標系を図1に示します。

図1　3つの座標系［クリックで拡大］

　前回までは直交座標系でしたが、これからは円筒座標系を使うことが多くなります。半径方向座標はr、回転方向座標はθ、奥行き方向はzです。z方向座標は直交座標系と同じです。ここで述べる円筒座標系では、全て軸対称問題です。物理量がどのようなθ位置でも同じ値をとる問題を対象とします。物理量はrとzの関数となります。つまり、温度や熱流束はrとzの関数となり、流体解析になると流速はrの関数、圧力はzの関数となります。rはプラスの値しか持ちません。ということは、rがマイナスの世界に移動する熱はないはずです。

円筒座標系での温度分布

　今回の設計モチーフは、図2に示す電源につながれた導体（電線）としましょう。

図2　電源につながれた導体［クリックで拡大］

　電流が多過ぎると導体が発熱して絶縁被覆が焦げたり、溶けたりします。導体と絶縁被覆の最高温度を求めましょう。絶縁被覆の最高温度が例えば60［degC］となるような電流値を逆算すれば、電線に何A（アンペア）まで流すことができるのかが分かります。

　図3に解析モデルを示します。円筒状の絶縁被覆とお考えください。

図3　円筒座標系の熱伝導の解析モデル［クリックで拡大］

　外半径r₂、内半径r₁で、内周側から熱が侵入し、内周面の熱流束をq₁とし、外周面から熱が放出され、その熱流束をq₂とします。そして、内周面温度をT₁、外周面温度をT₂とします。

　半径rの位置の熱流束をq（r）、温度をT（r）とします。境界条件から温度と熱流束分布を求める問題となります。今、半径rと半径r＋Δrに挟まれた領域の熱収支を考えます。奥行き寸法をLとすると、この領域は厚さΔrの筒となります。この筒の体積は2πrΔrLですね。

　この領域は自身で発熱しているとします。発熱量をW［W］とすると、単位体積当たりの発熱量は式1となります。

式1

　熱収支は式2で表されます。

式2

　q（r＋Δr）は式3でした。連載第2回の式22です。もう頭にたたき込まれているでしょうか。

式3

　式3を式2に代入します（式4）。

式4［クリックで拡大］

　最後の項は、Δが2つあるので高次の微小項になり削除します。式5となります。

式5

　微分方程式になりました。1つの解として次式を仮定しましょう（式6）。

式6

　B、C₁は未知数です。式6を式5に代入します。

式7

　式6は方程式を満足することと、B＝A／2とすればいいことが分かりました。C₁は境界条件から求めましょう。

　温度分布を求めましょう。フーリエの法則は次式でした（式8）。

式8

　温度分布は式9で表されます。C₂は積分定数です。

式9

　どの文献にも式8が書かれています。式8は正しいのですが、実は筆者は腑に落ちていません。円筒座標系は半径が大きくなればなるほど、熱の通過する面積が大きくなります。そうであれば、直交座標系と同じ形でよいはずはありません……。では、次に行きましょう。