ラグランジュの方程式（その2）～ラグランジュの方程式の導出手順と適用例～：1Dモデリングの勘所（40）（2/5 ページ）

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

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　一方、保存系において、系の位置エネルギーが力のポテンシャル

式19

の場合、力の成分は、

式20

で与えられる。これを一般力の式に代入すると、

式21

となる。ポテンシャルから導かれる式20の一般力を分離し、その他の成分をQ_orと置くと、

式22

となり、式18は、

式23

となる。Uは質点の位置により決まり、一般座標q_rのみの関数で、一般速度

は含んでいないため、

式24

となる。ここで、

式25

と置くと式23は、

式26

となる。保存系の場合には、Q_or＝0なので、

式27

となる。Lをラグランジュ関数またはラグランジュアンと呼ぶ。

　以上を、図1に示す簡単な1自由度系で試してみる。ここで、ラグランジュの方程式は、

式28

となる。このとき、

式29

となり、これを上式に代入して偏微分すると、

式30

を得る。

図1　マスとばねからなる1自由度振動系［クリックで拡大］

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