トポロジー最適化に挑戦する：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（4）（3/4 ページ）

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

　応力−ひずみマトリクス［D］は重要なので導出しましょう。材料力学のポアソン比の定義を思い出してください。図9に微小四角形をx方向に引っ張った場合を示します。微小四角形はx方向にΔL_xだけ伸び、y方向はΔL_yだけ縮みます。x方向ひずみをε_x、y方向ひずみをε_yとすると、ε_yとε_xの比がポアソン比でしたね。ε_yとε_xの符号が異なるため、ポアソン比νは式14で定義されています。

図9　微小四角形をx方向に引っ張った場合［クリックで拡大］

式14

　微小四角形をx方向とy方向同時に引っ張った（引張荷重が作用した）場合を考えます（図10）。σ_xによりx方向にε_x＝σ_x／Eのひずみが発生し、同時にy方向にε_y＝−νε_x＝−ν（σ_x／E）のひずみが生じます。Eはヤング率です。一方、σ_yによりy方向にε_y＝σ_y／Eのひずみが発生し、同時にx方向にε_x＝−νε_y＝−ν（σ_y／E）のひずみが生じます。両者を重ね合わせると、式15ができます。

図10　微小四角形をx方向とy方向に引っ張った場合［クリックで拡大］

式15

　式15から、σ_xとσ_yを求めます。次式となります。

式16

　ついでに、せん断応力とせん断ひずみγ_xyの関係も考慮しましょう（式17）。

式17

　式16と式17を一緒にしてマトリクス表記すると、応力−ひずみ関係式と応力−ひずみマトリクス［D］は次式になります。

式18

　式18には係数E／（1−ν²）がかかっています。これを取り出しましょう。次式になります。

式19

　では、剛性マトリクスはどうなるのでしょうか。式5の重積分は、要素の面積分です。2次元三角形1次要素の場合、剛性マトリクスは積分が簡単になって次式となります。Sは要素の面積です。

式20

　式20に式19を代入します（式21）。

式21

　式21を見ると、最適化の対象となるパラメータは、板厚hとヤング率Eとなります。hをパラメータとすると板厚最適化となり、Eをパラメータとすると密度法となります。

参考文献：

• ［4］CAEと強度計算の森、要素剛性マトリクスの導出