　機械設計でよく間違えるのが、板のたわみや応力である。図1のように、厚み1mmの鉄板が片方の端で固定されているが、もう一方の端に重りがぶら下がっている状態を考えてみよう。当然のことながら、鉄板は下向きにたわんで、鉄板の上側には引張応力が働く。最も大きな引張応力は、固定された端の根元の上側に生じ、最も大きなたわみは、重りが付いている端に生じる。さて、鉄板の厚みを2倍の2mmに変えたら、この最大の引張応力と最大のたわみは何分の1になるか？ 2分の1か？

図1　板の厚みを2倍にしたら、たわみと応力は何分の1になるか

　答えは、たわみは8分の1で、引張応力は4分の1である。ちょっとベコベコしているから危ないな、と思ったら厚みをちょっと厚くすればよい。たわみは3乗分の1になるし、応力は2乗分の1になる。さらに、剛性は8倍になるから、8の平方根を取って共振周波数（*1）は2.8倍になる。「本当かよ」と疑うならば、何でもいいから材料力学の教科書を探してきて、片持ち梁のたわみと応力の式を読み直せばよい。それらしいと分かるはずである。なお、この「厚みを2倍にすると、たわみは8分の1で、引張応力は4分の1になる」法則は、図1の梁の両方の端を固定する条件でも、この梁が柱でなく円板である条件でも、同じように成立する。

熱伝導にまつわるエトセトラ

　もう1つ直観が狂うのに、拡散方程式（*2）がある。これは熱伝導方程式（*3）でもある。化学反応や伝熱工学の教科書には必ず書いてある。

図2　氷の大きさの相似比が10倍になったら、凍結時間は何倍になるか

　ここでは、熱伝達の浸透深さ（*4）と伝達時間の関係で間違える。浸透深さが2倍になると、伝達時間は自乗の4倍になるからである。例えば、図2のように、冷蔵庫で1辺3cmの立方体の氷が、10分で水から作れたとする。それでは30cmのブロックの氷を作るには何時間かかるか、という問題を考える。答えは、熱の浸透深さが10倍になるから、そこまでの熱の到達時間は10分の100倍の16時間となる。これが3mと100倍になると、その自乗だから、なんと70日の2.3カ月になる。

　氷室に中に雪を固めておけば、夏でも溶けないことは容易に理解できよう。メキシコの土壁の家の室内が夏でも一定で涼しいのは、昼の猛暑が厚み30cmくらいの土壁を伝わらないうちに、夜になって逆に土壁が冷やされるからである。

　同様に、池の底は冬でも温かく、井戸の水は夏でも冷たい。泥鰌（どじょう）や鮒（ふな）が冬眠できるのも、極寒の空気の寒さが池の底まで伝わらないからである。

　トンネルの凍結工法として、営団地下鉄半蔵門線の九段下の日本橋川の工事が有名である。川の下の土を凍結させて固め、その直下を掘るのである。そこでは、4m置きに塩化カリウム冷却液を循環するパイプを打ち込んだが、1mの浸透深さの土を凍らせるのに9カ月掛かっている。

　逆に、浸透深さが2分の1になると、拡散時間は4分の1になる。マイクロチップのように、小さな反応器で拡散が支配的な化学反応を起こすと、反応時間が著しく短くなる。例えば、直径2cmの試験管で3時間かかる血液の抗原抗体反応を、幅0.2mmと100分の1の小さな溝で起こすと、1万分の1のたった1秒で終わってしまう。ではマイクロタービンを作ったらどうなるだろうか。同様に、熱があっという間に伝わるので、高熱部分と低熱部分が同じ温度になって、結局、熱機関として働かなくなって止まってしまう。