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少し冒険して、円管層流のヌセルト数を求めてみよう！：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（16）（3/5 ページ）

» 2025年09月24日 08時00分公開

[高橋良一／ＲＴデザインラボ代表，MONOist]

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微分方程式を解こう

　微分方程式の式16は導出できたものの、筆者の数学力ではこの解は分かりません。そこで、筆者お気に入りのExcel積分で探りを入れてみましょう。図4は、そのExcel積分シートです。

図4　微分方程式を解くためのExcelシート［クリックで拡大］

　半径方向座標を刻み幅Δrで分割し、Δrピッチで縦方向に並べます。r＝0［m］の熱流束はゼロなので、その値を代入しておきます。i＝iでの熱流束q_iが求まったとき、次のq_i+1を求めることが目標です。

　図示した式を使ってdq／drを計算し、微分方程式式16の各項を評価します。これらの総和を求めるセルを作成し、その合計がゼロになるように（つまり、方程式が成り立つように）、Excelのゴールシーク機能を使ってq_i+1を求めます。この作業を、全てのrの位置で実行していきます。

　取りあえず、数値的に求まった熱流束と、その半径方向での微分をグラフにしてみました。図5に示します。

図5　熱流束分布の曲線近似［クリックで拡大］

　続いて、Excelの近似曲線機能を使って近似式を求めます。熱流束qのグラフについては、多項式近似の次数が3のときにぴたりと一致しました。つまり、方程式の解はrの3次式で表されるようです。

　方程式の解として式17を仮定しましょう。rの3次式です。

式17

　半径座標微分は式18となります。

式18

　式17と式18を、式16に代入して整理すると、次のようになります。

式19

　これがどのようなrであっても成立するということは、r²の係数がゼロ、r⁰の係数がゼロでなければなりません。これらをゼロとした次式からAとBが求まります。

式20

式21

　少し自信がありませんが、方程式の解は次のようになるはずです。

式22

式23

　では、確認してみましょう。r＝0のとき、q＝0になるはずです。代入してみます。

式24

　確かにそうなりました。次に、r＝d／2のとき、q＝q_wになるはずです。こちらも代入してみましょう。

式25

　おおっ、こちらも合っています。式16をあらためて見ると、第1項はrの割り算なので、q（r）のrの次数を1つ下げています。第2項は微分なので、やはり次数が1つ下がります。そして第3項はrの2次式、第4項は定数。つまり、式16の右辺は、rの3次式と1次式の和になっていることに、この時点でぱっと気付くべきでした。