機構制御系のモデリング（その2）～回転1関節機構系を設計する～：1Dモデリングの勘所（37）（3/4 ページ）

» 2024年11月11日 09時00分公開

[大富浩一／日本機械学会設計研究会，MONOist]

前のページへ 1|2|3|4 次のページへ

弾性軸の場合の運動方程式

　次に、アームが弾性体の場合について考える。図6に示すように、アームの回転ばね定数をk_θ、回転減衰定数をc_θとすると、モーターに関しての方程式は以下となる（式4以降）。

図6　弾性軸を有する回転1関節機構系［クリックで拡大］

　モーターに関して、

式4

となり、モーターのトルクとアームの弾性力、減衰力のつり合いから、

式5

となり、質量とアームから構成される振動系に関して、

式6

となる。このとき、アームの半径をr_b、アーム材料の縦弾性係数をE、損失係数をηとすると、式7が成り立つ。

式7

　以上を、Modelicaでテキスト表現すると以下となる（リスト5）。なお、E＝2.1×10¹¹Pa、r_b＝0.001m、η＝0.003とした。

model flexNoControl
import Modelica.Constants.pi;
Real E;
Real i;
Real T;
Real J;
Real V;
Real theta;
Real thetav;
Real thetaa;
Real thetav0;
Real Id;
Real kc;
Real cc;
Real thetar;
Real thetarv;
Real thetara;
Real thetat;
parameter Real R = 1;
parameter Real Ke = 1.2e-3;
parameter Real Kt = 1.2e-3;
parameter Real L = 1e-5;
parameter Real M = 0.01;
parameter Real r = 0.05;
parameter Real Tloss = 1e-5;
parameter Real theta0 = pi/4;
parameter Real t1 = 0.1;
parameter Real t2 = 0.13;
parameter Real t3 = 0.17;
parameter Real t4 = 0.2;
parameter Real rr = 1e-3;
parameter Real Ey = 2.1e11;
parameter Real ita = 0.003;
equation
Id = pi*rr^4/4;
kc = 2*Ey*Id/r;
cc = ita*sqrt(J*kc);
thetav = der(theta);
thetaa = der(thetav);
thetarv = der(thetar);
thetara = der(thetarv);
thetat = theta + thetar;
E = V + R*i + L*der(i);
i = T/Kt;
V = Ke*der(theta);
-T=cc*thetarv+kc*thetar;
J*thetara + cc*thetarv + kc*thetar + Tloss = -J*thetaa;
J = M*r^2;
thetav0 = 1.43*theta0/(t4 - t1);
thetav = if (time < t1) then 0 elseif (time >= t1 and time < t2) then 0.5*thetav0*(1 - cos((pi/(t2 - t1))*time - (pi/(t2 - t1))*t1))
elseif (time >= t2 and time < t3) then thetav0
elseif (time >= t3 and time < t4) then 0.5*thetav0*(1 + cos((pi/(t4 - t3))*time - (pi/(t4 - t3))*t3))
elseif (time >= t4) then 0 else 0;
end flexNoControl;

リスト5　Modelicaでテキスト表現

　上記を解析した結果を、弾性軸と剛体軸の応答の比較として示す（図7）。駆動方法はいずれも、角速度制御駆動の正弦波駆動である。マクロにはマス先端の角変位に違いは見られないが、弾性体の場合にはアームが振動することにより、角加速度が発生し、これが電圧に影響として表れている。