フローで考える流れのモデリング（その1） 〜流れの理論と流路網解析〜：1Dモデリングの勘所（29）（2/3 ページ）

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

流れに関する容量要素の3形態

　容量項について考える。容量項は流れの一部の体積変化により、流れの流量が変化することによって発生する。このようなパターンはいくつか存在する。ここでは3つのパターン、すなわち、空気だまり、大気開放タンク、流体の圧縮性・管の弾性について考える。

空気だまり：

　図3に示すように、中央にタンクがあり、タンク上部には体積V、体積弾性率Kの空気層があり、タンクの下部（液層）両端は質量流量dm₁／dt、dm₂／dtを有する配管とつながっている。このとき、力の釣り合いおよび体積弾性率の定義式K＝−V（dp／dV）から、

式12

が成り立つ。dm₁／dt＝ρq₁、dm₂／dt＝ρq₂なので、上式は、

式13

となる。この式を変形すると、

式14

と容量項の式となり、これから容量要素は、

式15

となる。今、等温変化を考えるとp∝1／Vであるから、K＝pとなり、断熱変化を考えるとp∝1／V^γであるから、K＝γpとなる。γは比熱比で1気圧、20℃の空気の場合、γ＝1.402である。また、大気気圧はp＝1.01325×10⁵［Pa］である。

図3　空気だまり［クリックで拡大］

大気開放タンク：

　図4に示す大気開放タンクを考える。タンクに流入流出する流量の差分に流体の密度ρおよび重力加速度gを乗じて、タンク断面積Aで除した値が圧力として作用する。すなわち、

式16

となり、これから大気開放タンクの容量要素は、

式17

となる。

図4　大気開放タンク［クリックで拡大］

流体の圧縮性・管の弾性：

　水も空気ほどではないが、圧縮性を有する。また、流体を包含する管も弾性を有している。このため、圧力を受けると流体が圧縮され、管が膨らむため、これを補う形で流量が増加する。従って、図5に示すように体積弾性率K、体積Vの流体（水）が直径d、肉厚t、縦弾性係数Eの管で覆われているとき、流量qと圧力pの間には次の式が成り立つ。

式18

　管の弾性の影響は、内圧pを受けると管の半径rはΔr＝pr²／Etだけ伸びることより導出できる。以上から、流体の圧縮性・管の弾性を考慮した際の容量項の容量要素は、

式19

となる。なお、常温常圧での水の圧縮率（体積弾性率の逆数）は1／K＝0.485×10^-9［Pa］である。

図5　流体の圧縮性・管の弾性［クリックで拡大］