連載「CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる」の内容と有限要素法：CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる（2）（2/3 ページ）

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

1．要素剛性マトリクスの簡単な説明

　1本のばねで要素剛性マトリクスを説明します。図2のようなばねがあって、両端の変位をu₁、u₂とし、両端に作用する力をf₁、f₂とします。変位も荷重も右向きをプラスとします。

図2　ばねの両端の変位と荷重［クリックで拡大］

　u₁＜u₂の場合を考えましょう。ばねはu₂−u₁だけ伸びているので、ばねが縮もうとする力はk（u₂−u₁）となります。荷重の右向きをプラスとしたので、荷重は次式となります。

式1

式2

　上式をマトリクス表示しましょう。次式となります。

式3

　上式では［k］を「要素剛性マトリクス」、｛u｝を「変位ベクトル」、｛f｝を「荷重ベクトル」と呼んで次式で定義しました。

式4

　では、連立方程式である式1、式2を解いてみましょう。行列式を使うとu₁、u₂は次式となるはずです。

式5

　｜A｜は行列式でした。次式で計算します。

式6

　では、式5の分母を計算しましょう。

式7

　分母がゼロとなってしまいu₁、u₂を求めることはできません。図2をよく見てみると、ばねの一端を固定していませんね。これではばねはx方向に自由に動いてしまいます。このような状態を「剛体変位」といいます。CAEソフトでは固定が十分でない場合に相当します。「ピボットがゼロになりました」というようなメッセージとともに異常終了するか、とても大きな変位を結果として出力します。

　u₁＝0として、ばねの一端を固定しましょう。式1、式2は直ちに解くことができて、他端の変位は次式となります。

式8

　マトリクス表示した場合はどうでしょうか。やってみましょう。式3にu₁＝0を代入します。

式9

　式9について、変位が未知なものと既知なものを分けましょう。分割線を青線で描きます。

式10

　行列式の下半分を取り出します。

式11

　上式の左下Cのところはゼロとの掛け算なので、行列の下半分は次式に書き換えられます。

式12

　右下Dのところは、今回たまたま1行1列の行列でした。変位ベクトルと荷重ベクトルもたまたま1行でした。上式をマトリクス表示しましょう。

式13

　行列［k］の逆行列を式13の左側から掛け算しましょう。

式14

式15

　外力f₂が作用したときの変位u₂が求まりました。

　次に、式10の上半分を計算します。左上Aはゼロとの掛け算なので不要です。マトリクス表示で書きます。

式16

式17

　固定点の反力が求まりました。以上の説明は、1行1列の行列を使ったので分かりにくかったかもしれませんが、ポイントは式10の行列を4つに分解するところです。