非線形に入る前に、線形有限要素法について復習しておく：いまさら聞けない 非線形構造解析入門（2）（4/5 ページ）

[水野操 mfabrica合同会社 社長／3D-GAN，MONOist]

3．全体剛性マトリクスの構築

　全体剛性マトリクスは、簡単にいえば“各要素の剛性を足し合わせる”ことで構築できます。

　例えば、先ほどの2次元四辺形1次要素において、2要素のモデルの場合には、以下の2つの剛性マトリクスが存在します。

図4　全体剛性マトリクスの構築［クリックで拡大］

式18

　この2つのマトリクスを合成して、全体剛性マトリクスを構築し、変位ベクトル、荷重ベクトルとともに表現すると、以下のような式になります。

式19［クリックで拡大］

　ここで、0の箇所は両方の要素からの“寄与がない”部分、足し算で表現されている箇所は両方の要素からの“寄与がある”部分となります。

4．境界条件の適用

　これで問題を解く準備がほぼできましたが、まだ少し情報が足りていません。その情報というのが「境界条件」です。境界条件は、多くの解析ソフトのユーザーインタフェース上で「拘束条件」や「荷重条件」と表現されていると思います。

　図5のように左辺の2節点を拘束し、右辺の2節点をある任意の荷重fで載荷することを考えるとき、これらの数値を式に組み込むと式20のようになります。なお、この際、荷重が載荷されていない（外力がかかっていない）節点の自由度に対しては、0を代入します。

図5　境界条件の適用［クリックで拡大］

式20

　この後に、変位を0とした箇所が寄与する行列を削除します。それによって、未知数の数と式の数が合うようになります。ただし、一般的に多くの商用ソフトでは、そのような教科書的な処理ではなく、別の形で処理していることが多いようです（詳しくは割愛します）。