バグ検出ドリル（3）それでもプログラマーは数学を知っておくべきだ：山浦恒央の“くみこみ”な話（103）（3/3 ページ）

[山浦恒央 東海大学 大学院 組込み技術研究科 非常勤講師（工学博士），MONOist]

5．解答

　結果が一致しない理由は、「行列の掛け算の順序が違う」です。詳しい解説を5.1、5.2に示します。

5.1 プログラムの簡単な説明

図1　座標回転プログラムのフローチャート

　今回のプログラムのフローチャートを図1に示します。

　図1の各ボックスの詳細は以下の通りです。

1. 回転行列の作成する行列の「Matrix33」を初期化する
2. リスト1-1に示した回転行列を作成する。今回は、Z軸に60度、X軸に180度、Y軸に90度回転する組み合わせ行列を作成する
3. 座標A、B、Cの座標を回転する
4. 結果をコンソールに出力する

5.2 結果が一致しない理由

　問題には、Z軸→X軸→Y軸の順番に回転すると書いてあります。一見すると、Z→X→Yを順番に乗算すればよく、仮に順番が異なっていても「乗算ならば結果は同じ」と考えますね。実は、このやり方ではうまくいきません。下記に詳細を示します。

①行列は交換可能ではない

　この問題を考えるには、行列の性質を理解する必要があります。整数の乗算は、当たり前ですが、交換可能です（式1）。

A＊B＝B＊A……（式1）

　例えば、2＊3＝6と3＊2＝6は、「2に3を掛ける」か「3に2を掛ける」という日本語的な意味は変わりますが、計算結果は同じです。

　行列の乗算は、計算結果が変わる場合があります。つまり、「交換可能」ではありません。式2、式3をご覧ください。

　同じ行列の乗算でも順番が変わると、結果も変わることが分かるでしょう。行列演算は、掛ける順番を間違えると、間違った値が出ます。

②式の順番

　リスト1-1に示した回転算出式を、以下に再掲します。

　リスト1-2には、Z→X→Yに回転する行列計算式を示しています。つまり、Y＊X＊Zの順番で乗算が必要ですが、プログラムではリスト2に示す行列計算をしています。

		res_zx = Multiply33(mz, mx);
		res_zxy = Multiply33(res_zx,my);

リスト2　プログラムの抜粋

　1行目の「Multiply33(mz, mx);」でZ＊Xを乗算し、「Multiply33(res_zx, my)」では、Z＊Xの結果にYを掛けています。つまり、Z＊X＊Yの順番で計算しているため、リスト1-1の式と一致しません。結果を一致させるには、my＊mxを実施後、mzを乗算しなければなりません。

6．自己採点シート

　今回の自己採点シートを下記に示します。

問題	内容	配点（点）
回転計算プログラム	7分以上プログラムを読んで考えた	60
	計算順序の誤りに気が付いた	40
リスト3　自己採点シート

7．終わりに

　組み込みエンジニアは、数学的なアルゴリズムを実装することが少なくありません。その際、数学的な知識は、仕様の理解やバグ検出の上で、非常に強力な武器になります。特に、行列演算は、ロボット、航空機やゲームなど多くの製品の制御系で役立つ知識です。

　今回の行列演算のような単純ミス（しかし、思い込みにより、なかなか原因が分からない難解な不良）でバグを出さないためには、プログラミング言語の深い理解も大切ですが、数学の基礎的な分野に興味を持つことも重要だと思います。

参考文献

［1］「ゲーム開発のための数学・物理学入門 初版」（Wendy Stahler、2005、ソフトバンククリエイティブ）

【 筆者紹介 】

山浦 恒央（やまうら つねお）

東海大学 大学院 組込み技術研究科 非常勤講師（工学博士）

1977年、日立ソフトウェアエンジニアリングに入社、2006年より、東海大学情報理工学部ソフトウェア開発工学科助教授、2007年より、同大学大学院組込み技術研究科准教授、2016年より非常勤講師。

主な著書・訳書は、「Advances in Computers」 （Academic Press社、共著）、「ピープルウエア 第2版」「ソフトウェアテスト技法」「実践的プログラムテスト入門」「デスマーチ 第2版」「ソフトウエア開発プロフェッショナル」（以上、日経BP社、共訳）、「ソフトウエア開発 55の真実と10のウソ」「初めて学ぶソフトウエアメトリクス」（以上、日経BP社、翻訳）。