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» 2015年03月19日 10時00分 公開

振動問題をFreeMatで解いてみよう(その1)無償ソフトで技術計算しよう【シミュレーション応用編】(2)(2/3 ページ)

[伊藤孝宏,MONOist]

振り子の運動方程式の数値解法

 ode45で(1)式のような2階の微分方程式を解くには、連立した1階微分方程式に置き換えて計算します。


 つまり、


を下記のように書き換えます。


 後は、(3)式と(4)式で示すθとφについての連立微分方程式を解けば、求める解が得られます。

 では、g=9.8、L=1、初期条件をt=0で、


 さらに解析区間がt=0〜10として、FreeMatで解いてみます。

 始めに無名関数で連立微分方程式を定義します。

--> dydt=@(t,y) [y(2);-9.8*sin(y(1))];

 ここでy(2)がφ、y(1)がθになります。次に、ode45にdydtと解析区間、初期条件を渡すと、配列yの1列目にθが、2列目にφが返ってくるので、y(:,1)として1列目のデータを指定してプロットすると、図2の結果が得られます。

--> [t,y]=ode45(dydt,[0,10],[pi/4;0]);
--> plot(t,y(:,1));grid('on');
図2:振り子の運動方程式の数値解法結果

 カクカクした結果になっていますが、一定の周期となっています。これは、FreeMatのOde45が分割幅を比較的大きめにとるためです。参考までにMATLABで計算した結果を図3に示します。

図3:MATLABで解いた結果

 カクカクした結果では見かけがあまりよくないので、解析区間を小さくして、区間の最後の結果を次の区間の初期条件として計算するようにしたのが、ex405.mです。図4に示す計算結果を見ると、滑らかになっているのが分かります。

dydt=@(t,th) [th(2);-9.8*sin(th(1))];
ts=[0,10];n=20;
tspan=linspace(ts(1),ts(2),n);
t0=[pi/4;0];
tt=[];theta=[];
for k=1:n-1
    [t,th]=ode45(dydt,[tspan(k),tspan(k+1)],t0);
    t0=th(length(th),:);
    if(k<n-1)
        t(length(t))=[];th(length(th),:)=[];
    end
    tt=[tt,t];
    theta=[theta;th];
end
plot(tt,theta(:,1));grid('on');
ex405.m

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図4:振り子の運動方程式の数値解法結果

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