ボールがスコーンと跳ねる高さを調整せよ：ピタゴラスイッチの計算書を作ろう（5）（2/4 ページ）

[岩淵 正幸／技術士（機械部門），＠IT MONOist]

エネルギーの保存

草太「シーソーの上に置かれたバスケットボールが、台車から落ちてきたボールによって、てこの原理で跳ね上げられるときの高さはどうやって計算するのかな？ 」

編集部より、読者の皆さまへ

以降で出てくる数式をメモ帳やノートなどに書き取るなどして、実際に計算しながら読み進めてみてください。より理解が深まります。

草太「まず、バスケットボールの質量を『M_{b_ball}』、シーソー板から跳ね上がるときの速度を『v_{b_ball}』、跳ね上がりの最大高さを『h_{b_max}』とすれば、重力加速度を『g』として、エネルギー保存の式から、以下のような式になる」

草太「だからバスケットボールが跳ね上がる高さh_{b_max}は、こう」

*変数については前ページの図5.1を参照してください

草太「跳ね上がりの最大高さhb_max＝200mmとして、バスケットボールが跳ね上がるときの速度を計算すると……」

草太「でも変だね。跳ね上がり高さはバスケットボールの質量に関係しないよ」

銀二「いまごろ何をいっているんだね。ガリレオのピサの斜塔の実験の故事を知らないのか？」

草太「『ピサの斜塔から質量の違う2つの物体を落としたら同時に着地した』ってやつでしょ。この実験から重力による落下速度はその物体の質量の大きさによらないってことを見つけたんだよね。そうか。この場合はその反対ってことになるんだ」

銀二「結局、バスケットボールの跳ね上がり高さはシーソー板から飛び跳ねるときの速度で決まる」

草太「シーソー板から飛び跳ねるときの速度がバスケットボールの質量で違ってくるってことだね。ではその速度はなんで決まるかといえば、台車から落ちてきたボールがシーソー板と衝突して、その衝突によって回転するシーソー板の回転角速度だ。そこで、台車から落ちてきたボールがシーソー板とどのくらいの速度で衝突し、その衝突によってシーソー板がどのくらいの角速度で回転し、シーソー板の反対側のバスケットボールをどのくらいの速度で跳ね上げるかって問題になるわけだね」

銀二「だいたいそんなとこだね。問題を解くとき、具体的な計算に入る前にいまのような手順を考える必要があるんだ。シーソー板から飛び跳ねるときのバスケットボールの速度を計算してみるのもいいけど、跳ね上がり速度が分かれば、（5-2）から跳ね上がる高さも分かるから、バスケットボールの質量をパラメータとして、跳ね上がり高さを求めてみようか」

　草太は、いままで学習してきたエネルギーの保存の法則、反発係数の定義式、運動量保存の法則を思い出し、ノートに式を書き込みながら叔父さんに説明をしました。

草太のノート

　台車から落下するときの台車のボールの高さh_{c_ball}と、落下するときの速度v_{c_ball}およびそのボールがシーソー板と衝突する直前の速度v_{c_ball}とbとの間には、エネルギーの保存式が成り立つから、台車の中のボールの質量をM_{c_ball}として、

　右辺の添え字「b」は衝突前の「before」を意味していることは前回と同じだからいいよね。前回同様、ボールの回転エネルギーは無視するよ。(5-4)から台車の中のボールがシーソー板と衝突する直前の速度v_{c_ball},、bは、

で計算できる。

　速度の符号は下向きが負、上向きが正だよ。だから(5-5)にはマイナス符号が付いている。

　そしてシーソー板が台車のボールとの衝突によって角速度ω_sで回転すると、シーソー回転支点と衝突点までの回転の腕の長さをl_cとすれば、シーソー板の衝突点速度はl_cω_sだから、反発係数を「e」として、衝突の定義式から、

と書ける（記号は図5.2参照）。

図5.2　草太が作ったシーソーの構想図

　(5-6)によって、衝突前後の台車のボールの速度とシーソー板の回転角速度ωsを関係付けることができる。添え字「a」は衝突後の「after」を、「n」はシーソー板の方法線方向を意味しているよ（図5.2参照。シーソー板の回転角速度ω_sは反時計周りを正としていることに注意！）。

　一方、シーソー板のオイラーの運動方程式と、各ボールとシーソー板法線方向のニュートンの運動方程式はそれぞれ、以下のように書ける。

　もちろんω_s、J_sはシーソー板の回転角速度と慣性モーメントだ（図5.2）。

　そしてF_c、F_bは台車からのボールがシーソー板と衝突したときに発生する衝撃力だ。ただしF_eはバスケットボールが受け板から受ける力で衝撃力ではないよ。「μ」はバスケットボールと受け板との間の摩擦係数だ。

　(5-7)において、衝撃力F_c、F_bはを消去すると

となる。

　(5-8)に衝突時間dtを掛けると、dtは非常に短いから

となって、衝突前後の速度差を

と書けば、(5-9)は

だ。

　台車のボールがシーソー板と衝突した後のバスケットボールの飛び跳ね速度 は、シーソー板の角速度ω_sを使えば、こうだ。

　ここで右辺に負符号が付いているのは、シーソー板の回転は反時計周りを正としているからだよ。

　よって(5-6) と(5-11)は、(5-12)を使ってv_{c_ball}、a、nとω_sについての次の連立方程式を構成することになる。　

　これをω_sについて解くと

　だ。従ってバスケットボールの飛び跳ね速度v_{b_ball}は

となる。

　右辺の台車のボールの衝突速度v_{c_ball}、b、nは下向きの速度だから負だね。だからバスケットボールの飛び跳ね速度v_{b_ball}は上向きの正の値となる。

　ここで、台車のボールがシーソー板と衝突する前の法線速度vc_ball、b、nは直線スロープ2からのボールの落下軌跡を計算しないと正確な値は分からない。しかし、接線方向の速度は小さいと仮定すれば、(5-5)の衝突速度vc_ball、bにほぼ等しいと考えられるから(5-15)は

と書ける。