ボールの運動軌跡が簡単に計算できるの？：ピタゴラスイッチの計算書を作ろう（3）（2/4 ページ）

[岩淵 正幸／技術士（機械部門），＠IT MONOist]

ゲートの設計

銀二「つまりゲートには、

　494から972mm／s

の速度範囲でボールが衝突するってわけだ。ゲートに必要な機能は、このボールをサブ・システム3へスムーズに渡すことだけど、どんな条件が必要だと思う？」

草太「まず、ゲートが重過ぎて、ボールがゲートと衝突した後止まってしまうのは困るね。次に、ゲートが軽過ぎてサブ・システム3のロック機構の止め板を飛び越してしまうのも困るな（図3.4）」

図3.4　ボールがロック機構を飛び越す

図3.5　理想的な軌跡

銀二「取りあえず、ボールがゲートで止まらない条件を求めてみようか」

草太「そうだね。ボールがさっきの速度でゲートに突入してきたときゲートを押しのけることができればいいんだね」

銀二「図3.5のようなボールの軌跡が得られればいいんだな。じゃあ、ボールの軌跡を求めてみよう」

草太「えっ？ ボールの軌跡が計算で簡単に求められるの？」

銀二「お前はなんのために機械力学を学んだんだよ〜！」

　銀二叔父さんはあきれてしまいました。しかし、かわいい甥っ子が困っているのだから、「まあ根気よく説明するしかあるまい」と腹をくくりました。

ボールとゲートが衝突したときの運動軌跡を求めよう

図3.6　衝突後のゲートの運動

草太「単位を取るためだよ！ ……というのは冗談として」

銀二「ほんまに冗談？ まあ、そうだな。いきなり運動の軌跡を求めよっていっても抵抗あるか。じゃあ、ボールがゲートに衝突したときにゲートが開く最大角度を求めてみようか。いままで出てきた知識を使って、ゲートの最大開度を計算してごらん」

草太「エネルギーの保存式を利用するんだね。図3.6で、ゲートがボールと衝突した後のエネルギー保存の式は、ゲートの質量m_G、慣性モーメントJ_Gとして、ゲートの重心並進速度、回転角速度をそれぞれv_G、Ω_Gとし、さらに衝突直後の状態を意味する添字をcとすると、ゲートが開いて重心の高さがHとなったときには、このようになるよね（図3.6）」]

草太「ゲートが最大に開いたときは、ゲートの運動は停止して、回転角速度

Ω_Gと並進速度v_Gは0となり、ゲート高さHは最大となるからエネルギーの保存式は、これ」

草太「エネルギー損失E_lossは回転軸での摩擦損失だけだから小さく、ほぼ0だとして、さらに最大開度θ_maxと最大重心位置H_maxの関係を求めてみる」

だから、

となって、

　上の（3-14）に注意して、

草太「しかし、衝突直後のゲートの角速度Ω_G,cが分からん！」

銀二「J_Gってゲートの重心周りの慣性モーメントだね？ （3-10）はゲートの重心の並進運動と回転運動のエネルギーを考えているけど、ゲートが回転する軸を回転中心とした物体の運動と考えれば、振り子の運動だね。この場合は回転運動だけを考えればよいから、回転軸周りの慣性モーメントをJ_oとし、回転軸周りの角速度をΩ_oと書くと、（3-10）から（3-15）、以下のようにも書ける」

ポイント：図3.6の、ゲートが張り付いた一点鎖線で描いた円が、回転軸を中心に回転すると考えると分かりやすい。

銀二「衝突直後のゲートの回転角速度は、重心周りも、回転軸周りも同じ値だからΩ_0,c＝Ω_G,cだね。従って、（3-14)と(3-18)とを比較すれば、こうなることが分かる」

草太「これって、どこかで見た気がするな」

銀二「『慣性モーメントの平行軸の定理』ってやつだよ」

草太「おっ、そうだ、そうだ。……いや、それでも衝突直後のゲートの角速度Ω_0,c＝Ω_G,cが分からんっていうことには変わりはない！」

運動量の保存

銀二「こういう場合は原点に立ち返って考えてみよう。まず、ボールとゲートの運動方程式を立ててみようか。ボールの運動方程式はボールの質量をmB、スロープ1を移動する並進速度をv_B、衝突時にゲートから受ける力を

F_tとしたら、こうなる」

銀二「では、ゲートの運動方程式はどうなる？」

草太「ゲートは、振り子の運動と一緒だから、振り子の運動は、振り子の運動はー……確か授業で習ったはずだな……ノート、ノート……えっと、なになに」

草太のノート

図3.7　衝突時の力と運動

　質量をm_G、回転軸周りの慣性モーメントをJ0、鉛直線とのなす角をθ、回転軸から重心までの長さをL_G、角速度をΩ₀、重力加速度をgとして、

と書ける。

草太「だそうです」

銀二「ノートを見ないと書けないのか。……まあいいよ。それで、その後どうする？」

草太「F_tはボールがゲートから受ける力だけど、作用反作用の法則により、ボールがゲートに作用する力でもあるから……」

銀二「本当はボールの回転ωについての運動方程式も考えるべきだけど、あまりにも複雑になるし、ゲートの運動にはあまり関係なさそうだから今回は省略しようか。しかし、（3-23）はモーメントの式だから単位はmNだろ。Fは力で単位はN（ニュートン）だよ。おかしくないかい？」

草太「そうか、回転軸から衝突点までの距離をL_cとすると、こう」

草太「そして、この訳の分からんFtを（3-21）と（3-24）から消去してしまえば、こうなるよね」

草太「どうだ！ 参った？ ハッハッハ」

銀二「アホ。それで、どうやって衝突直後のゲートの角速度Ω_0,cを求めるんだね」

草太「すんまへん。こっから分かりまへん」

銀二「まず、F_tというのは、どういう力だね？」

草太「ボールとゲートが衝突して互いに及ぼし合う力だよ」

銀二「じゃあ、ボールとゲートが接触していないときは0なんだな？ ボールとゲートが金属のように硬ければ、衝突は一瞬だ。だから接触時間dtはほぼ0と考えていい。剛体の衝突の場合には(3-25)式の両辺に衝突時間dtを掛けると、こうなる」

銀二「だから、右辺はほぼ0に等しい。従って、以下のようになる」

銀二「これはいわゆる運動量保存の式だね。公式なんて知らなくたって、式を変形していけば自然に出てくるものなんだね。衝突直前のボールの速度をv_B,b、直後の速度をv_B,cとしよう。ゲートの角速度は衝突直前は0で、衝突直後の角速度はΩ_0,cだ。だから、衝突前後の速度変化は、それぞれこのようになる」

よって（3-26）は、