ニュートン流体とパイプ内の層流：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（9）（3/4 ページ）

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

円管内流れの微分方程式の検算

　さて、式8は正しいのでしょうか。これを確認するために「ナビエ・ストークス（Navier-Stokes）」式と比較してみましょう。ナビエ・ストークス式は次式で表されます（参考文献［1］）。

式9

式10

　円筒座標系におけるナビエ・ストークス式では、速度の記号が以下のように変わります。

［クリックで拡大］

　式9の左辺の演算子は式11です。

式11

　今回の問題では、流れに時間変化がないため、式11の右辺第1項はゼロになります。次に、V_r＝V_θ＝0であるため、第2項および第3項もゼロです。さらに、z座標が変わっても流速分布が変化しないため、第4項もゼロになります。よって、式9の左辺はゼロとなります。

　式9のラプラス演算子∇²は、円筒座標系では式12となります。なお、円筒座標系における軸方向はz方向ですが、図5での軸方向はxなので表記を変えます。

式12

　V_r＝0、V_θ＝0、さらに外力ベクトルもゼロであるため、式9の軸方向成分は式13として表されます。

式13

　流速uは、角度θと流れの方向に対して一定値であるため、結局式12は次のようになります（式14）。

式14

　圧力はxだけの関数で、流速uは半径だけの関数なので、偏微分記号を微分記号に変えます。そして、μ＝ρνの関係式を用います。

式15

　おおっ！　式8と一致しました。計算に誤りはなかったようです。

参考文献：

• ［1］生井武文、井上雅弘｜機械工学基礎講座 粘性流体の力学｜理工学社（1978）

円管内流れの速度分布

　では、式8を解いてみましょう。とはいえ、この微分方程式を筆者の力で解くのは難しいため、カンニングします。参考文献［2］によると、式8の一般解は式16となります。

式16

　この一般解を微分すると、速度勾配は式17で表されます。

式17

　境界条件から積分定数を求めます。中心上では対称性から、せん断応力はゼロになります。これは、円筒座標系においてマイナスの半径という概念がなく、半径ゼロの位置では、発生したせん断力を支える相手が存在しないためです。このことから、式18が成立します。

式18

　式18を式16に代入すると、積分定数C₁はゼロになります。

　パイプ壁面の流速はゼロなので、式19が成立します。

式19

　式19を式16に代入すると、積分定数C₂は式20となります。

式20

　積分定数を式16に代入すると、速度分布は式21で表されます。

式21

　この速度分布は放物線になりますね。中心の流速を求めるときは、r＝0を代入しますが、これでは流速がマイナス値になりそうです。しかし、圧力勾配dp／dx（※2）がマイナス値であるため、結果として流速はプラス値となります。つまり、圧力が下がる方向に流体が流れることを意味します。同様に、熱伝導の場合も温度が下がる方向に熱が伝わりましたよね。

※2の正しい表記

参考文献：

• ［2］日本機械学会｜機械工学便覧 A5 流体工学｜（1992）