機構制御系のモデリング（その1） 〜機構と制御の基本について考える〜：1Dモデリングの勘所（36）（3/4 ページ）

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

制御の基本

　次に、摩擦のない床面に静止している質量mの物体に対し、外力f（t）が作用している場合の質点の運動を考える（図7）。

図7　質点の運動［クリックで拡大］

　この質点の運動方程式は、

式7

となる。この運動方程式を初期条件（t＝0で変位、速度が0）の下、ラプラス変換すると式8となる。

式8

　これから、

式9

となり、伝達関数は式10で定義できる。

式10

　次に、外力が作用したときの質点の応答について考える。外力の代表的なものとして図8に示す「ステップ入力」と「インパルス入力」を考える。

図8　ステップ入力とインパルス入力［クリックで拡大］

　ステップ入力u_s（t）とは、ある時間（図8ではt＝0）に、単位力が作用し、その後この状態が継続した状況である。一方、インパルス入力δ（t）とは、ある時間（図8ではt＝0）に瞬間的に無限大の力が作用した状況である。δ（t）は「デルタ関数」といい、式11が成立する。

式11

　ステップ入力は物体をぶら下げた状態、インパルス入力は衝撃力を与えた状態で、いずれも日常的に経験する力の入力形態であり、ラプラス変換を用いることにより、これらの効果を表現、解析可能とする。通常の方法でこれらを模擬することは容易ではない。

　図7について、力がステップ状に作用したときの質点の応答について考える。ラプラス変換の式を参考にすると、ステップ応答（ステップ入力に対する系の応答）は式12となる。

式12

　すなわち、ステップ入力を受けた静止した質点は、式12を時間で2回微分して、一定加速度1／mで運動することが分かる。

　インパルス応答も同様にして式13で求まる。

式13

　すなわち、インパルス入力を受けた静止した質点は、式13を1回微分して、一定速度1／mで運動することが分かる。

　このように、静止した質点にステップ入力、インパルス入力が作用すると、それぞれ一定加速度、一定速度で運動を開始して、次の外力が作用するまでこの運動を継続する。一般に、物体は何らかの外乱を受けるので、摩擦のない床面に静止している質点は制御の視点からいうと“安定ではない”ということになる。