　図8に、CAE解析結果と式29による計算結果を示します。一致しましたね。筆者の少し自信のない紙と鉛筆による計算結果をシミュレーションで確認したようなものです。普通はCAE解析結果に対して「桁あってますか検算」（連載「CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる」の第6回）をするために紙と鉛筆による計算結果を使うのですが、今回はこの反対ですね。

図8　CAE解析結果と式29による計算結果［クリックで拡大］

　このように、温度を境界条件とするものを「ディレクレ（Dirichlet）境界条件」といいます。一方、温度の1階微分、この場合、熱流束を境界条件とするものを「ノイマン（Neumann）境界条件」と呼びます。

　図9に示した片持ちはりのたわみ計算では、x＝0［m］におけるたわみをゼロとするのがディレクレ境界条件、x＝0［m］における傾斜をゼロとするのがノイマン境界条件となります。

図9　片持ちはり［クリックで拡大］

熱い棒の両端の熱流束を一定にした場合

　今度はノイマン境界条件の例を述べます。図10に示すように、100［degC］に熱せられた棒の両端の熱流束を一定にした問題です。

図10　棒の両端の熱流束を一定にした問題［クリックで拡大］

　境界条件をグラフにすると図11のようになります。

図11　境界条件［クリックで拡大］

　フーリエ級数を適用するために、ここでひと工夫を加えます。図11を拡張して図12のようにします。こうすることで、この関数は周期関数として扱うことができ、フーリエ級数によって表現可能になります。なお、ここでは2l_a＝lとなるように長さを操作しています。

図12　t＝0［s］の熱流束分布［クリックで拡大］

　方程式、式5の解は次式でした（式30）。

式30

　フーリエの法則から熱流束は式31となります。

式31

　線形微分方程式に複数の解があったとしたら、それらの和も解となるため、次式が成立します（式32）。

式32

　t＝0［s］の熱流束は式33となります。

式33

　図12は周期2lの周期関数なので、次のフーリエ級数で表すことができます。a₀＝0です。

式16［再掲］

　式16と式33はそっくりです。以下の対応関係を作りましょう。

式34

　式34を使うと、以下の対応関係があることになります。

式35

　式16のa_nとb_nを求めれば、答えが得られそうです。早速フーリエ級数を計算しましょう。まずは式17です。

式36［クリックで拡大］

　次は式18です。

式37［クリックで拡大］

　式33に式36と式37を代入します。

式38

　式38を計算しましょう。図13に示します。q_w＝200000［W/m²］とし、n＝50までの和です。x＝0［m］のところの熱流束を100000［W/m²］とするために、式38ではq_w＝200000［W/m²］としています。また、図12において長さを操作していました。