フローで考える熱のモデリング（その1） 〜熱の理論と熱回路網解析〜：1Dモデリングの勘所（31）（3/4 ページ）

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

熱伝導の基本問題

　以上の知見を基に、図4上図に示す熱伝導の基本問題を考える。100℃の物体と0℃の物体があり、両者を熱伝導体で接続した後の、熱量の移動、各物体の温度を求める問題である。

図4　熱伝導の基本問題［クリックで拡大］

　図4上図を図1の考え方にのっとって熱回路網で表現すると図4下図となる。熱伝導体の熱コンダクタンスをG［W/K］、各物体の熱容量をC₁、C₂［J/K］、温度をT₁、T₂［℃］、熱量をQ［W］とする。熱量は図の矢印の方向を“正”とする。このとき、以下の式が成立する。

式17

　上記第1式の両辺を時間tで微分し、この式に第2式と第3式を代入すると、

式18

となる。この式を、t＝0でT₁＝T₁₀、T₂＝T₂₀、Q＝G×（T₁₀−T₂₀）≡Q₀という条件の下で積分すると、

式19

となる。この式を最初の第2式、第3式に同様の手順で代入すると、

式20

となる。なお、t→∞の場合、

式21

となる。すなわち、十分に時間が経過すると両者の温度は同じになり、その温度は両者の初期温度と熱容量で決まる。

　上記の熱伝導の基本問題をG＝10、C₁＝C₂＝15として結果を図示すると図5となる。熱容量が物体1と物体2で同じなので、温度は両者の温度の中間値である50℃に収束していることが分かる。一方、熱量は両者の温度差が小さくなるにしたがって減少し、最終的にゼロ（熱平衡）になる。

図5　図4の解析例［クリックで拡大］

　本問題は式を直接「Modelica」テキスト表現して数値的に解くこともできる。結果は当然図5と同じになる。Modelicaテキスト表現の例を以下に示す（リスト1）。

model twoMasses
  Real T1 (start=100);
  Real T2 (start=0);
  Real Q;
  parameter Real G=10;
  parameter Real C1=15;
  parameter Real C2=15;
equation
  Q=-G*(T2-T1);
  der(T1)=-Q/C1;
  der(T2)=Q/C2;
end twoMasses;

リスト1　Modelicaでテキスト表現した場合