ラプラス変換と複素数が導く！ ＋Dのご利益：独学！ 機械設計者のための自動制御入門（8）（3/4 ページ）

[岩淵 正幸／技術士（機械部門），＠IT MONOist]

応答性能はゲイン特性を見れば分かる

　銀二さんは、前回の復習を兼ねて、次のような説明をしました。

　線形システムでは、開ループシステムの伝達関数に振動数ωの正弦波xを入力したときの出力yは、振動数ωで、振幅がA倍、位相がθ進んだ正弦波です。つまり、

です。

　ここで、便宜上、入力を

と書くと、出力は、

となります。

　これを、複素指数関数表示すると、

となります。

　従って、伝達関数G₀は、

と表記することができます。すると、フィードバックシステムの伝達関数（閉ループの伝達関数）Gは、

ですから、閉ループGの振幅比｜G｜および位相∠Gはそれぞれ、

です。

　開ループGoのゲイン特性においてゲインが0（dB）のとき、すなわち入出力振幅比Aが1のときの周波数をωcとすると、一般に、周波数ωがωcを超えると振幅Aは小さくなりますから、ω＞ωcではA→0です。すると（11）、（12）から、

となり、ω＞ωcでは入力に追従できなくなります。従ってωcは閉ループシステムにおける応答性の目安ということになります。これをカットオフ周波数と呼ぶことがあります。ですから、図5の、では、カットオフ周波数ωcはそれぞれω1、ω2。ω2の方が高いので、の伝達特性を持つシステムの方が閉ループの応答性は高い、ということがいえます。

図5（再掲）

　ちなみに、開ループGoのカットオフ周波数では閉ループGの位相∠Gは、（12）から、

となり、開ループの伝達特性Goの位相遅れθが小さいほど、閉ループの伝達特性Gの位相遅れ∠Gも小さい、すなわち応答性が高いことが分かります。

通常、制御系の設計はシステムの安定性を重視するから、図5のG₀₁、G₀₂のように位相余裕は同じような大きさに設定する。だから、カットオフ周波数ωcが高ければ高いほど、応答性が高い、ということになるわけや

なるほど。すると、応答性を上げるためには開ループのボード線図のゲイン曲線を上に上げればいいってことだね

基本的にはそういうことなんやけど、ゲイン曲線を上げ過ぎると、図6で分かるように、位相余裕がなくなり不安定となる。せやから、むやみに上げることができないんや

図6 ゲイン曲線を上に揚げると不安定になる

すると図4のボード線図から考えて、これ以上はゲインを上げることができないみたいだね

図4（再掲）

そこで、新たな補償方法が登場する……

比例、積分と出たから、ひょっとして今度は微分？

ご名答！

微分の周波数応答特性ってどんなんだろう？

自分で考えてみぃ