基本中のキホン「熱伝導」をおさらいする：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（2）（4/4 ページ）

CAE解析とExcelを使いながら冷却系の設計を“自分でやってみる／できるようになる”ことを目指す連載。連載第2回では、基本中のキホンとなる「熱伝導」についておさらいする。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

熱伝導方程式の導出

　前項では、幅Δxの領域の熱収支について、入ってくる1秒当たりの熱と出ていく1秒当たりの熱が等しいとしました。ここで、“入ってくる熱の方が多く、発熱体が加熱される状態”を考えます。次式となります。

式32

　1秒当たりの温度上昇は、温度上昇速度と捉えることができます。式33で表しましょう。

式33

　加熱に使われる熱は、1秒当たりの温度上昇量に質量と比熱を掛けたものになります。式18を変形して、加熱に使われる熱を加えると式34となります。

式34［クリックで拡大］

　式22を代入した後、式を変形していきましょう。

式35

　フーリエの法則（式8）を代入します。

式36

　定数をひとまとめにします。以下に記す温度伝導率aを次式で定義し、式36に代入します。ついでに、微分記号を偏微分記号に変更します。

式37

式38

　さらに、3次元版に拡張しましょう。温度Tは座標（x，y，z）と時間tの関数と考えることができ、T（t，x，y，z）と表せます。

式39

　ナブラ演算子（参考文献［2］）∇を使うと、式40となります。∇²は、ナブラ演算子同士の内積で「ラプラス演算子」というそうです。

式40

　参考文献［1］に載っている式が出来上りました。これが熱伝導方程式の一般形となります。温度伝導率aにも意味があって、温度の伝わりやすさと解釈できます。後は、流体の主流の温度T_∞と伝熱界面の温度T_wの関係が分かれば、全ての温度が求まります。これには「熱伝達率」というパラメーターを使います。次回以降は熱伝達率を説明し、ヒートシンクの熱解析をシミュレーションと、紙と鉛筆で行っていきます。　（次回へ続く）

参考文献：

• ［1］日本機械学会｜機械工学便覧 A6 熱工学（S61）
• ［2］矢野健太郎｜解析学概論｜裳華房（S53）

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Profile

高橋 良一（たかはし りょういち）
ＲＴデザインラボ 代表

1961年生まれ。技術士（機械部門）、計算力学技術者 上級アナリスト、米MIT Francis Bitter Magnet Laboratory 元研究員。

構造・熱流体系のCAE専門家と機械設計者の両面を持つエンジニア。約40年間、大手電機メーカーにて医用画像診断装置（MRI装置）の電磁振動・騒音の解析、測定、低減設計、二次電池製造ラインの静音化、液晶パネル製造装置の設計、CTスキャナー用X線発生管の設計、超音波溶接機の振動解析と疲労寿命予測、超電導磁石の電磁振動に対する疲労強度評価、メカトロニクス機器の数値シミュレーションの実用化などに従事。現在ＲＴデザインラボにて、受託CAE解析、設計者解析の導入コンサルティングを手掛けている。⇒ ＲＴデザインラボ