基本中のキホン「熱伝導」をおさらいする：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（2）（3/4 ページ）

CAE解析とExcelを使いながら冷却系の設計を“自分でやってみる／できるようになる”ことを目指す連載。連載第2回では、基本中のキホンとなる「熱伝導」についておさらいする。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

発熱体内部の温度分布

　発熱体内部の温度分布を求めましょう。図3の右半分を図5に示します。幅Δxの領域の熱収支を考えます。

図5　右側の発熱体と固体の熱収支［クリックで拡大］

　熱源の体積は、次の式16で表されますね。

式16

　熱源の単位体積当たりの発生熱量Aは、式17となります。

式17

　図5の幅Δxの領域の左側から入ってくる全熱量にΔxの領域で発生する熱量を足したものと、右側から出ていく全熱量が等しいと、熱収支は合っていることになります。よって、式18が成立します。

式18

　q（x＋Δx）の近似値をテイラー展開を使って求めましょう。関数f（x）がaを含む区間でず〜っと微分可能であるとき、式19のように展開できます。

式19［クリックで拡大］

　ここでaをxに書き換え、b−aをΔxとすると、式20が出来上ります。

式20

　式20を式19に代入します。

式21［クリックで拡大］

　図5において、Δxを非常に小さい長さとすると、Δxの2乗以上の項はΔxに比べて無視できるほど小さくなるため、式21右辺の第3項以降は無視することにします。関数f（x）を関数q（x）に書き換えると、q（x＋Δx）の近似値は式22となります。

式22

　式22は、以前の連載「CAEと計測技術を使った振動・騒音対策」の連載第2回で紹介しました。図にすると図6のようになり、直感的に式22が出てきます。式22の形は今後も頻出するので、頭にたたき込んでいただけると幸いです。

図6　微分したものを使った関数値の近似［クリックで拡大］

　式22を式18に代入して、式を変形していきます。

式23

　変数分離形になったので、両辺をxで積分します。

式24

　積分定数Cを求めます。発熱体の全発熱量はWなので、x＝x_sの位置の熱流束は以下でした（式25）。

式25

　式24にx＝x_sを代入し、式24と式25が等しいので、以下のように積分定数Cが求まりました。

式26

　そして、式26と式17を式24に代入します。

式27［クリックで拡大］

　あっけない式になりましたが、x＝0は左右対称なものの中央なので、熱流束はゼロのはずですし、x＝x_sでの熱流束は式25の通りとなりました。

　では、温度分布を求めましょう。フーリエの法則（式8）に式27を代入します。

式28

　変数分離形になったので、両辺をxで積分します。

式29

　積分定数Dを求めます。x＝x_sでT＝T_sの条件を使います。

式30

　式30を式29に代入して変形します。

式31［クリックで拡大］

　温度分布が求まりました。2次式（放物線）となりました。図4のような感じですね。

　伝熱界面温度T_sは、式15にx＝x_sを代入すると求まります。最高温度T_cは、式31にx＝0を代入すると求まります。流体温度と伝熱界面温度の関係は熱伝達のところで解説します。