【問題10】 NANDゲートは“万能ゲート”：完全マスター！ 電子回路ドリル II（10）
「論理演算の定理」を適用して、同じ機能を持つ回路を“もっと少ないゲートで構成する方法”について詳しく解説します。
【問題9】の解答
前回の宿題【問題9】は、「多数決回路」をできるだけ少ないゲートで作成するという問題でした。
皆さん解けましたでしょうか？
解けた方も解けなかった方も答え合わせをして、次項の解説までぜひ読んでみてください。毎週コツコツ問題を解いて、デジタル回路の基礎知識を身に付けましょう。
それでは、解答を発表します！
【問題9】の解説
最初に、【問題7】の解説で説明した真理値表から論理式を導く方法を用いて、【問題9】のデジタル回路を作ってみましょう。
真理値表の出力が“1”の行に注目して、次のように論理式を求めます。
X ＝ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C
この論理式を回路にすると図1のようになります。
【問題9】では「同じ機能を持つ回路を、もっと少ないゲートで構成できないか？」を問うています。そこで、中学校で習う「式の変形」のように論理式を変形し、同じ応答をするより簡単な論理式を求めてみましょう。
論理式の変形は、次のような「論理演算の定理」を適用して行います。
復元の法則
二重否定すると、その値は元に戻ります。
=
A ＝ A
冪（べき）等の法則
値自体を論理和（あるいは論理積）しても結果は同じになります。
A ＋ A ＝ A A ・ A ＝ A
相補の法則
ある論理変数とそれを否定したものの論理和は“1（真）”になり、ある論理変数とそれを否定したものの論理積は“0（偽）”になります。
A ＋ A ＝ 1 A ・ A ＝ 0
恒等の法則
論理和と論理積には、次のような性質があります。
A ＋ 0 ＝ A A ・ 0 ＝ 0
A ＋ 1 ＝ 1 A ・ 1 ＝ A
交換の法則
論理和と論理積の左辺と右辺を入れ替えても結果は同じです。
A ＋ B ＝ B ＋ A A ・ B ＝ B ・ A
結合の法則
論理和と論理積は、演算を評価する順番にかかわらず同じ結果になります。
（A ＋ B） ＋ C ＝ A ＋ （B ＋ C） （A ・ B） ・ C ＝ A ・ （B ・ C）
分配の法則
論理和は論理積に対して分配的であり、論理積は論理和に対して分配的です。
A ＋ （B ・ C） ＝ （A ＋ B） ・ （A ＋ C） A ・ （B ＋ C） ＝ （A ・ B） ＋ （A ・ C）
吸収の法則
論理式が積の和の形で表され、すべての因数となる項を含むとき、その項に式を省略することができます。論理式が和の積の形で表される場合も同様です。
A ＋ （A ・ B） ＝ A A ・ （A ＋ B） ＝ A
ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則により、論理和を論理積に、論理積を論理和に変換できます。
A ＋ B ＝ A ・ B A ・ B ＝ A ＋ B
それでは、これらの論理演算の定理を適用して、先に求めた「多数決回路」の論理式を簡単にしてみましょう。
X ＝ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C
は「冪等の法則」により、
X ＝ （A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C） ＋ （A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C） ＋ （A ・ B ・ C ＋ A ・ B ・ C）
と展開できます。
さらに、この式は「分配の法則」により、
X ＝ B ・ C ・ （A ＋ A） ＋ A ・ C ・ （B ＋ B） ＋ A ・ B ・ （C ＋ C）
とまとめられます。
そして、「相補の法則」により、
X ＝ B ・ C ＋ A ・ C ＋ A ・ B
と簡単化できます。
この論理式を基に作成した「多数決回路」が図2となります。
このように図1よりも少ないゲートで回路を実現することができます。
次回までの宿題 ― 【問題10】
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