フローで考える熱のモデリング（その2） 〜熱コンダクタンスの定義と導出方法〜：1Dモデリングの勘所（32）（2/5 ページ）

「1Dモデリング」に関する連載。連載第32回では「フローで考える熱のモデリング（その2）」と題し、熱コンダクタンスの定義とその導出方法について取り上げる。

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

強制対流熱伝達

　図4に示すように、高温の物体（表面温度一定のT_w）の周りに低温の流体（温度T_∞）が流れている場合を考える。

図4　強制対流熱伝達［クリックで拡大］

　このとき、物体表面からの熱流束は、

式11

となる。熱伝達率hは場所によって異なり、物体全表面からの熱量は、

式12

となる。物体表面の平均熱流束を

式13

と定義すると、

式14

となり、h_mを「平均熱伝達率」、最初の式のhを「局所熱伝達率」という。熱伝達率は、熱伝導率、温度伝導率と異なり、流体の物性だけで決定することはできず、以降で述べるように、物体の形状や流れの状態によって決まる。

　平板に沿った流れを考えると、図5に示すように先端位置に近い部分は層流、下流では乱流となる。

図5　層流と乱流［クリックで拡大］

　層流境界層内の流れは粘性に支配されていて、流速分布に対応したせん断応力τが流れ方向に作用する。その大きさは、

式15

となる。平板表面のせん断応力τ_wは式16となる。

式16

　平板表面では、流体の分子は平板の表面に固定されている（静止している）ので、平板表面からの熱流束は熱伝導の基本式から、

式17

となる。式17と前述の熱伝達の基本式から、

式18

となる。すなわち、熱伝達率は温度境界層の温度勾配によって決まる。層流は乱流に比べて平板表面の温度勾配が小さいため、図5上図に示すような熱伝達率となる。

　熱伝達率の評価には、境界層内の熱と流れが関係する。そこで、図6の座標系で、熱と流れの支配方程式を境界層近似すると下記となる。

式19　連続の式

式20　運動方程式

式21　エネルギー方程式

図6　強制対流熱伝達の座標系［クリックで拡大］

　上式の各変数を

式22

により無次元化すると以下となる。

式23

　Reを「レイノルズ数」といい、

式24

をプラントル数と呼ぶ。

　一方、物体表面の熱伝達率は、

式25

となる。これから、熱伝達に関する無次元数である「ヌッセルト数」を以下のように定義する。

式26

　ヌッセルト数は温度で決まるので、前述の運動方程式の無次元数であるレイノルズ数、プラントル数で表現できる。すなわち、

式27

となる。