トポロジー最適化のチェッカーフラグ対策：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（9）（3/6 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第9回では、チェッカーフラグ状の濃淡とグレーの濃淡をなくす方法を紹介する。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

チェッカーフラグ対策付きトポロジー最適化のアルゴリズム

　目的関数の微分と第1の制約関数式8のρ_iによる微分を次式に示します。

式10

式11

　第2の制約関数式9のρ_iによる微分を次式に示します。

式12

　ρ_iによる微分なのでρ_iが含まれない項の微分はゼロとなります。黒色で示した項は要素iによる項、暖色系の色で示した項は要素iの上下左右（4個）による項です。

式13

　m_i＝4を代入します。

式14

　ラグランジュ関数をρ_iで微分したものがゼロでしたね。

式15

　式15、式8、式9を用いて、未知数ρ₁、ρ₂、ρ₃……ρ_ne、λ、λ_gを求める問題となりますが、この連立方程式は簡単には解けませんので、連載第6回で述べた方法で求めていきます。

　式15を変形します。

式16

　ρ_iは、初期値を与えて繰り返して徐々に解に近づけるので、計算過程では式16は成立しません。次式で表すD、D₁、D₂を導入します。

式17