トポロジー最適化のチェッカーフラグ対策：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（9）（2/6 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第9回では、チェッカーフラグ状の濃淡とグレーの濃淡をなくす方法を紹介する。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

チェッカーフラグ対策の方法

　チェッカーフラグ対策のアルゴリズムは、大まかに分けて2種類あります。1つ目はペナルティーを科すという考え方で、2つ目はラグランジュの未定乗数法の制約関数を追加する方法です。

　1つ目の方法を説明します。目的関数が最小になるような設計変数を求めているため、チェッカーフラグになったら目的関数が増えるようにペナルティーを付加すればよいことになります。図2に示したように、チェッカーフラグがない状態の場合、Gは大きくなるのでマイナスの符号を付けて目的関数に追加します。参考文献［1］では、目的関数f（ρ₁，ρ₂，ρ₃……ρ_ne）として次式が提案されています。

式3

式4

式4の補足

　この方法を行うには有限要素法ソフトを自分で作る覚悟が必要です。今回の趣旨はフリー有限要素法ソフト「LISA」を使って最適化を行うことでしたので、1つ目の方法は採用できません。

　2つ目の方法を説明します。連載第3回で、ラグランジュの未定乗数法では制約関数を幾つでも追加できることを述べました。式4で計算される重力関数に、目標値G_targetを設定しましょう。制約関数hは次式となります。式1のpは自分で決めてよいので、p＝1とします。

式5

　ラグランジュ関数は次式となります。

式6

　トポロジー最適化問題は以下のように表現できます。

　v_iは、各要素の見掛けの体積です。各要素は軽石のようにスカスカ状態で内部空洞を含めた体積です。V_oは、最適対象全体の見掛けの体積です。aは目標とする体積比率で、実際の体積と見掛けの体積の比となります。