音振動とは？ 現象もモデリング方法も多種多様、まずは振動の基本から学ぶ：1Dモデリングの勘所（6）（4/4 ページ）

「1Dモデリング」に関する連載。今回（連載第6回）と次回で「音振動」のモデリングを扱う。今回は、振動に着目することにし、最も身近な振動現象を提供している“振り子”を例に振動の基本を学ぶ。続いて、振動の「1Dモデリング」の最も一般的な方法である「MCKモデリング」とその解法について紹介する。最後に、MCKモデルを用いた自励振動問題を扱う。

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

MCKモデル

　最も簡単な振動系は、質量（m）とばね（k）からなる「MKモデル」である。振動モデリングの基本は、実際の構造物をどのようにしてMKモデルに落とし込む（低次元化モデリングする）かである。

　図8にMKモデルの自由振動、すなわち「単振動」の定式化とその一般解を示す。単振動とは、ある時刻を経過すると元に戻る状態を意味し、この時間間隔を「周期」、周期の逆数を「固有振動数［rad/sec］」または「周波数［Hz］」と呼ぶ。

図8　単振動［クリックで拡大］

　図8の単振動では、いったん振動するとその状態が理論的には無限に継続する。実際の構造物では、振動は時間とともに収束する。これは減衰要素が構造物に存在するからである。そこで、図8のモデルに「減衰（c）」を追加した図9に示すMCKモデルが振動モデルの基本形となる。図9に示すように減衰の大きさによって、減衰振動（時間とともに振動が小さくなる）、過減衰、臨界減衰（いずれも振動せずに減衰）となる。

図9　減衰振動［クリックで拡大］

　図10のように、外部から力または変位が作用する場合を「強制振動」と呼ぶ。図10は、ばねおよび減衰の上端を変位で周期加振している様子を示す。この場合は解析的に解くことができ、質量（m）の振幅は、入力の加振周波数がMCK系の固有振動数に一致したときに最大となる。減衰がないと、この振幅は無限大となるが、減衰が存在するとある値に落ち着く。

図10　強制振動［クリックで拡大］

自励振動

　MCKモデルの応用例として、摩擦による自励振動、いわゆる「スティックスリップ現象」について考える。図11に示すように、MCKモデルを横に配置し、質量の下面をベルトで摺動しているとする。このとき、質量とベルトとの間には摩擦力が生じる。ここでは、動摩擦係数μを静摩擦係数μ₀を用いて図11のように表現できるものとする（ここに、b＞0）。

　図11のように式を展開していくと、図9の減衰振動と同じ形式の式で表現できる。図9の減衰項に相当する項が図11の場合には条件によって符号が変わるということである。すなわち、質量がある一定値を超えると振動は周期的動作を繰り返しながら発散する。これが摩擦による自励振動である。弦楽器の音発生メカニズムは、この原理を応用したものである。もっとも、演奏者はこの原理を理解して演奏しているわけでなく、経験的にこのような状況を作り出しているということである。

図11　自励振動［クリックで拡大］

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　次回は、振動のモデリングに関して、一般的な構造物をどのようにしてMCKモデルで表現するかを述べるとともに、音振動をエネルギーの流れで捉える方法についても紹介する。　（次回へ続く）

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筆者プロフィール：

大富浩一（https://1dcae.jp/profile/）

日本機械学会 設計研究会
本研究会では、“ものづくりをもっと良いものへ”を目指して、種々の活動を行っている。1Dモデリングはその活動の一つである。

• 研究会HP：https://1dcae.jp/
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