トポロジー最適化 〜密度法の定式化〜：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（5）（5/5 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第5回では、トポロジー最適化における密度法の定式化に取り組む。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

ラグランジュ関数Lの展開

　応力、ひずみと密度ρ_iとの関係が分かったので、ラグランジュ関数Lを微分しましょう。ラグランジュ関数Lは式30でした。

式30（再掲）

　第1項と第2項を別々に微分します。まず第1項です。

式47

　ρ_iで微分します。i＝iの項だけが残ります。

式48

　第2項です。

式49

　ρ_iで微分します。i＝iの項だけが残ります。

式50

　冒頭で、それぞれのρ_iが設計対象物のコンプライアンスに大きく影響するか、それとも大して影響を与えないか、つまり感度を求める必要があると述べました。式48と式50がその感度に相当するものです。では、ne個ある式48と式50を解けば最適解が得られるのでしょうか。

　図8左図はMBB（Messerschmitt-Bolkow-Blohm）はりの境界条件と応力分布で、図8右図は最適化形状です。この応力分布から図8右図の骨が創出されるのでしょうか。そう簡単にはいきません。式48と式50の解き方にテクニックが必要です。そのテクニックは「最適性規準法（Optimality Criteria法）」と呼ばれているもので、詳しくは次回お話します。　（次回へ続く）

図8　応力分布と最適化形状［クリックで拡大］

⇒ 連載バックナンバーはこちら

Profile

高橋 良一（たかはし りょういち）
ＲＴデザインラボ 代表

1961年生まれ。技術士（機械部門）、計算力学技術者 上級アナリスト、米MIT Francis Bitter Magnet Laboratory 元研究員。

構造・熱流体系のCAE専門家と機械設計者の両面を持つエンジニア。約40年間、大手電機メーカーにて医用画像診断装置（MRI装置）の電磁振動・騒音の解析、測定、低減設計、二次電池製造ラインの静音化、液晶パネル製造装置の設計、CTスキャナー用X線発生管の設計、超音波溶接機の振動解析と疲労寿命予測、超電導磁石の電磁振動に対する疲労強度評価、メカトロニクス機器の数値シミュレーションの実用化などに従事。現在ＲＴデザインラボにて、受託CAE解析、設計者解析の導入コンサルティングを手掛けている。⇒ ＲＴデザインラボ