パラメトリック最適化に挑戦する：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（2）（2/4 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第2回では片持ちはりをモチーフに、パラメトリック最適化について解説を始める。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

関数の極大値と極小値

　「何をいまさら」なのですが、関数の極大値と極小値を求めましょう。例えば、下に凸の関数（y＝f（x）＝x²など）の極小値は、関数を微分することで求まります。極小値になる条件は以下でしたね。

式9

　y＝xⁿの場合は、式10となります。

式10

　少し余談になりますが、式10は1684年にライプニッツによって証明抜きで発表されましたが、次の積分の式はその20年ほど前にヨーロッパの数学者の間で知られていました（参考文献［1］）。積分の方が早かったのです。

式11

参考文献：

• ［1］志賀浩二／数学の流れ30講（中）／朝倉書店（2019）

　式10と式11は、これから多用していきます。

　以下に、凸の関数の極小値の例を示します（図4）。

図4　凸関数の極小値［クリックで拡大］

　では、変数がたくさんある場合を考えましょう。先ほど変数を座標xとしましたが、座標だとy、zと変数が3つで終わりなので、x、y、zの代わりに、ρ₁、ρ₂、ρ₃、ρ₄、ρ₅……ρ_mとしましょう。これらの変数は、図1のC₁、C₂、C₃などに相当した設計変数で、設計変数はm個あります。図2の片持ちはりの場合、m＝2、ρ₁＝n、ρ₂＝aとなります。

　ある関数f（ρ₁，ρ₂，ρ₃……）があるとし、その極小値ないしは極大値となり得るρ₁、ρ₂、ρ₃……はどうやって求めるのでしょうか。次に示す連立方程式を解くことによって求めます。連立方程式は設計変数の数だけ（m個）あります。

上から式12-1／式12-2／式12-m

　偏微分の記号∂が出てきました。式12-1の場合、ρ₁を変数としてρ₁だけで微分し、ρ₂以降を定数として扱います。つまり、定数の微分なのでゼロとなります。極小値は図5のようになります。最適化問題でよく見かける図ですね。

図5　下に凸の関数の極小値［クリックで拡大］

剛性最大化、コンプライアンス最小化

　形状最適化の文献には「剛性最大化」という表現ではなく、「平均コンプライアンス最小化」という表現が使われています。コンプライアンスは、ばね定数の逆数なので、剛性最大化問題は平均コンプライアンス最小化問題となります。コンプライアンスfは式13で定義されます。

式13

　力×変位（移動量）になるので、仕事量［J］と同じ単位となります。ばね定数k［N/m］を導入しましょう。変位uは、荷重Wをばね定数kで割ったものなので、式13は次式となります。

式14

　分母にばね定数kが出てきたので、コンプライアンスはばね定数の逆数となります。では、W＝kuを代入しましょう。

式15

　ばねに蓄えられるエネルギーEは式16だったので、コンプライアンスはばねに蓄えられるエネルギーの2倍ですね。

式16