パラメトリック最適化に挑戦する：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（2）（3/4 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第2回では片持ちはりをモチーフに、パラメトリック最適化について解説を始める。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

コンプライアンスを最小化するはりの形状

　先ほど「荷重Wに対する変位が最小になるようなはり形状を求めましょう」と述べましたが、剛性最大化問題はコンプライアンス最小化問題のことになるので、表現を変えて「コンプライアンスが最小」となるはりの形状を求めましょう。はりの形状は、例えばスプライン曲線で表現してもいいのですが、今回ははりの高さh（x）が式1で限定されたはりの形状を求めましょう。

　はりのたわみ曲線を求める基礎方程式は式17です。yがたわみ量［m］、Eはヤング率E［Pa］です。

式17

　曲げモーメントMと断面二次モーメントIが座標xの関数となります（式18）。

式18

　式18を式17に代入します。

式19

　式19をxで積分します。積分定数をC₁としておきます。

式20

　C₁を求めます。x＝Lではりの傾きはゼロなので式21が成立します。

式21

　式21を式20に代入しておきましょう。

式22

　次はたわみ量です。式22をxで積分します。

式23

　C₂を求めます。x＝Lで、はりのたわみはゼロなので次式が成立します。

式24

式25

　たわみは式26となります。

式26

　x＝0のときのたわみを変位uとして、コンプライアンスを求めます。

式27

　たわみは下方向なのでマイナス値となりました。プラスに変えて、コンプライアンスは式28となります。

式28

　今考えているのはコンプライアンスの最小化で、設計変数がnとaです。式12でのf（ρ₁，ρ₂，ρ₃……ρ_m）が式28に相当し、これを目的関数と呼びます。目的関数を設計変数の関数とすると、式29で表すことができます。

式29

　では、式12に従って式24をnとaで偏微分し、イコールゼロとしましょう。

式30

式31

　この連立方程式を解くのは難しそうです。変数をnとaとして目的関数fを図6のようなグラフで表現しました。

図6　コンプライアンスf（n，a）の分布［クリックで拡大］

　むむ……。図5に示したような極小値がありません。nが0.05［-］より小さく、aが0.8［m/mⁿ］より大きいところに極小値があるというのでしょうか。nがマイナス値であるとは考えられないため、n＝0［-］が解で、hはxによらず一定値ということなのでしょうか。違うような気がします。図6を見ると「aは大きければ大きいほど良い」と読み取れます。そりゃそうですね。はりの高さhが大きいほど剛性は高くなります。

　制約条件を入れる必要があります。aを大きくするとはりの体積が増えます。はりの体積が一定値V_oという条件を入れましょう。体積がV_oという制約の中で、コンプライアンスが最小（剛性が最大）となるようなnとaを求めましょう。