フローで考える音振動のモデリング（その1） 〜音振動をエネルギー視点で捉える〜：1Dモデリングの勘所（34）（2/3 ページ）

「1Dモデリング」に関する連載。連載第34回では「フローで考える音振動のモデリング（その1）」と題し、音振動をエネルギー視点で捉える。

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

背景となる理論

　背景となる理論であるSEAの考え方を拡張し、1Dモデリングに適用する。以下、その考え方を簡略に示す。なお、SEAに関する理論の詳細については参考文献［1］［2］を、実用的な方法については参考文献［3］を、理論の概要については参考文献［4］を参照されたい。

　図3に、要素間のパワーのフローを示す。図2の任意の2要素を抽出したものと考えていただきたい。各要素にパワーが入力され、その一部が内部損失で消費され、残りが周囲の要素に伝達する様子を示している。このとき、要素i、要素jの定常状態でのパワーの入力と出力が等しいことから、

式1

が成り立つ。このとき、中心周波数ω、帯域幅Δωの周波数域を考えると、内部損失パワーは以下で表現できる。

式2

　η_iは要素iの、η_jは要素jの内部損失係数である。これは、今までに何度か出てきた材料の損失係数と同じである。

　一方、要素間の正味のパワーP_ij−P_jiは、対象とする周波数域のモード数をN_iとすると、モード当たりの要素エネルギーE_mi＝E_i／N_iの差に比例する。すなわち、モード当たりのエネルギーの高い方から低い方にパワーは流れる。これは、熱で温度の高い方から低い方に熱量が流れるのと同じ理屈である。

式3

　このとき、

式4

で、相反定理η_ijN_i＝η_jiN_jを考慮している。上式から、

式5

となり、ここでのη_ij、η_jiは要素i、要素j間の結合損失係数である。なお、上式にはモード数N_iの影響は陽には表れない。モード数の影響は結合損失係数η_ij、η_jiに陰に含まれていることに留意されたい。

図3　要素間のパワーのフロー［クリックで拡大］

　以上から、パワーの平衡式（電流則に相当）は、

式6

となり、パワーとエネルギーの関係は、

式7

となる。そして、上式を統合して、

式8

となる。以上は2要素の場合であったが、一般的な多要素の場合には図4のようにマトリクス表示できる。この連立方程式を、Pを入力とし、損失ηを決めて解くことにより、各要素のエネルギーEを求める。単に連立方程式を解くだけなので「Excel」でも解ける。

図4　多要素から構成される音振動系のパワーとエネルギーの関係式［クリックで拡大］

　SEAは、各要素の共振点が多数近接して存在する高周波数域の応答を、要素の空間平均、周波数平均により、エネルギーに変換する方法で、構造要素のエネルギー、音場要素のエネルギーは図5で定義される。すなわち、各要素のエネルギーを知ることによって、振動速度、音圧の時空間平均値を求めることができる。

図5　音振動エネルギーの意味［クリックで拡大］

参考文献：

• ［1］R.H.Lyon｜Statistical Energy Analysis 2nd Edition
• ［2］L.Heckl｜Structure Borne Sound｜Springer
• ［3］入江良彦｜SEA法による固体伝搬音解析｜日本音響学会誌 48巻6号（1992）
• ［4］大野進一、山崎徹｜機械音響工学｜森北出版（2010）