有限要素法入門 〜要素剛性マトリクスの導出〜：CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる（4）（6/7 ページ）

金属疲労を起こした際にかかる対策コストは膨大なものになる。連載「CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる」では、CAEを正しく使いこなし、その解析結果から疲労破壊の有無を予測するアプローチを解説する。連載第4回は、前回に引き続き「有限要素法」について解説する。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

ガウスの数値積分公式

　式39の積分はガウスの数値積分公式（参考文献［3］）を使って近似計算します。ここでは次式の関数を積分するとしましょう。

式44

　この積分の近似値は、図8で示した点の関数値を使って次式で求めることができます。

式45［クリックで拡大］

図8　ガウスの数値積分公式での計算点（積分点）［クリックで拡大］

　試しに、f（ξ，η）がξ、ηの2次式の場合を計算しましょう。式44の積分値は次式となります。

式46

　では、式46に適当な数値を代入します。係数は表1とします。

表1　被積分関数の係数［クリックで拡大］

　式46に数値を代入すると、積分値は16となりました。では、ガウスの数値積分公式で計算しましょう。表2に示すように積分値も16となりました。この近似積分計算は厳密値を出しました。

表2　ガウスの数値積分公式による計算結果［クリックで拡大］

　ガウスの数値積分公式の一般形は次式です。

式47

　計算点の位置は下図となります。前述した例では、関数がξ、ηの2次式でした。この場合は計算点数が2×2以上で計算値は積分の厳密値となります。関数がξ、ηの1次式だと計算点数は1×1で厳密解となり、関数がξ、ηの3次式だと計算点数は3×3で厳密解となります。計算点の位置を「積分点」といいます。

図9　ガウスの数値積分公式での計算点（積分点）［クリックで拡大］

参考文献：

• ［3］Wikipedia｜ガウスの数値積分公式