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有限要素法入門 〜連立方程式の解法、変位の計算〜CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる(3)(2/7 ページ)

金属疲労を起こした際にかかる対策コストは膨大なものになる。連載「CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる」では、CAEを正しく使いこなし、その解析結果から疲労破壊の有無を予測するアプローチを解説する。連載第3回では、前回作成した全体剛性マトリクスから弾性変形後の変位を求める。そして、変位−ひずみマトリクス[B]を導出する。

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マトリクス材料力学

 今まで述べてきた方法は、狭い意味での有限要素法ではありません。単なる連立方程式の解法です。

 例えば、図2はラーメン構造解析の例ですが、前述した方法と全く同じ方法で計算しています。要素剛性マトリクスは式15で表されていて、左上の要素は単なる「フックの法則」、それ以外の要素は「はりの曲げ理論」で求まっています。こういうものを「マトリクス材料力学」とでも呼べばよいのでしょうか。

ラーメン構造解析
図2 ラーメン構造解析[クリックで拡大]
式15
式15

ひずみの計算

 図3に要素の変形を示します。「要素の変形」ではなく「節点の変位」と表現してもよいかと思います。

要素の変形
図3 要素の変形[クリックで拡大]

 図3左側の場合は要素が移動しただけです。平行移動しただけなので要素にひずみは発生していません。3つの変位ベクトルは同じ値を持ちます。次式です。

式16
式16

 図3右側の場合は要素が伸ばされています。要素が弾性変形しているとすると、ひずみが発生しています。各節点の変位は異なる値を持つので次式となります。

式17
式17

 以上のことから、節点変位を使って要素に発生しているひずみが求まりそうですね。では、丸棒の場合を考えてみましょう。図4に丸棒が伸ばされた状態を示します。

丸棒が伸ばされた状態
図4 丸棒が伸ばされた状態[クリックで拡大]

 一端(O点)が固定されていて、多端(A)が引き延ばされてA’に移動したとします。移動量をδと書きます。δは伸びた量ですね。この棒のひずみは次式で表されます。

式18
式18

 棒の端からxの位置の変位を求めます。変位は位置xの関数としてu(x)と表記します。以下の関係式が成り立ちます。

式19
式19
式20
式20

 u(x)は位置xに比例するので、任意の位置の変位は次式で表されます。

式21
式21

 式19式20を、式21に代入したらその通りになりますね。では、式21をxで微分しましょう。以下となります。

式22
式22

 変位を座標で微分すると、ひずみとなりました。2次元問題では任意の位置のx方向変位をu(x,y)、y方向変位をv(x,y)とすると、ひずみは次式となります。

式23
式23

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