有限要素法入門 〜連立方程式の解法、変位の計算〜：CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる（3）（2/7 ページ）

金属疲労を起こした際にかかる対策コストは膨大なものになる。連載「CAEを正しく使い疲労強度計算と有機的につなげる」では、CAEを正しく使いこなし、その解析結果から疲労破壊の有無を予測するアプローチを解説する。連載第3回では、前回作成した全体剛性マトリクスから弾性変形後の変位を求める。そして、変位−ひずみマトリクス［B］を導出する。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

マトリクス材料力学

　今まで述べてきた方法は、狭い意味での有限要素法ではありません。単なる連立方程式の解法です。

　例えば、図2はラーメン構造解析の例ですが、前述した方法と全く同じ方法で計算しています。要素剛性マトリクスは式15で表されていて、左上の要素は単なる「フックの法則」、それ以外の要素は「はりの曲げ理論」で求まっています。こういうものを「マトリクス材料力学」とでも呼べばよいのでしょうか。

図2　ラーメン構造解析［クリックで拡大］

式15

ひずみの計算

　図3に要素の変形を示します。「要素の変形」ではなく「節点の変位」と表現してもよいかと思います。

図3　要素の変形［クリックで拡大］

　図3左側の場合は要素が移動しただけです。平行移動しただけなので要素にひずみは発生していません。3つの変位ベクトルは同じ値を持ちます。次式です。

式16

　図3右側の場合は要素が伸ばされています。要素が弾性変形しているとすると、ひずみが発生しています。各節点の変位は異なる値を持つので次式となります。

式17

　以上のことから、節点変位を使って要素に発生しているひずみが求まりそうですね。では、丸棒の場合を考えてみましょう。図4に丸棒が伸ばされた状態を示します。

図4　丸棒が伸ばされた状態［クリックで拡大］

　一端（O点）が固定されていて、多端（A）が引き延ばされてA’に移動したとします。移動量をδと書きます。δは伸びた量ですね。この棒のひずみは次式で表されます。

式18

　棒の端からxの位置の変位を求めます。変位は位置xの関数としてu（x）と表記します。以下の関係式が成り立ちます。

式19

式20

　u（x）は位置xに比例するので、任意の位置の変位は次式で表されます。

式21

　式19と式20を、式21に代入したらその通りになりますね。では、式21をxで微分しましょう。以下となります。

式22

　変位を座標で微分すると、ひずみとなりました。2次元問題では任意の位置のx方向変位をu（x，y）、y方向変位をv（x，y）とすると、ひずみは次式となります。

式23