トポロジー最適化のチェッカーフラグ対策：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（9）（5/6 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第9回では、チェッカーフラグ状の濃淡とグレーの濃淡をなくす方法を紹介する。

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

トポロジー最適化の計算手順

　トポロジー最適化の計算手順を図3に示します。2重ループになっています。

図3　計算アルゴリズム［クリックで拡大］

　図3の2重ループの外側の繰り返し回数が世代数です。1回目のループは第1世代、2回目のループは第2世代となります。

　図3の*Aの「λの初期値を設定」を説明します。連載第6回と同じで、第1世代は式20の値を使い、第2世代以降は1つ前の世代のλを使用します。

　図3の*B、*Cを説明します。Dは次式でした。λはマイナス値であることはお約束で、計算初期段階では式23の第2項が大きいため、λ_gもマイナス値となります。この結果、式17の第1項のD₁はプラス値、第2項のD₂はマイナス値となり、正負が拮抗（きっこう）して、Dが1になるようなρ_i、λ、λ_gが存在しそうです。

式17の再掲

　式17の第1項であるD₁について述べます。{νσ}^T{σ}は各要素に蓄えられる仕事量で、これを小さくしたいことが目的でした。{νσ}^T{σ}が大きいと、D₁は小さくなり、Dも小さくなります。よって、次のことがいえます。

D＜1のとき

D₁の分母が大きい→蓄えられる仕事量が大きい→要素のスカスカ度合いをなくさねばならない→ρ_iを大きくする

D＞1のとき

D₁の分母が小さい→蓄えられる仕事量が小さい→要素をもっとスカスカにしてもよい→ρ_iを小さくする

　式17の第2項であるD₂について述べます。λ_gがマイナス値であることを前提とします。分子に注目します。チェッカーフラグ状でないようにするには、上下左右のρが小さいとき、つまりゼロに近いとき、中央のρも小さくすべきです。上下左右のρが大きいとき、つまり1に近いとき、中央のρも大きくすべきです。ρ_iは周囲のρに合わせるのです。試験前に、前後左右の席の生徒が勉強していなかったら、安心して自分も試験勉強を始めない――。その逆もしかりですね。次のことがいえます。

D＜1のとき

D₂が小さい（D₂はマイナス値なので|D₂|は大きい）→ρ_左＋ρ_下＋ρ_右＋ρ_上が大きい→中央のρを大きくしなければならない→ρ_iを大きくする

D＞1のとき

D₂が大きい（D₂はマイナス値なので|D₂|は小さい）→ρ_左＋ρ_下＋ρ_右＋ρ_上が小さい→中央のρを小さくしなければならない→ρ_iを小さくする