実践！ 密度法によるトポロジー最適化に挑戦してみよう：フリーFEMソフトとExcelマクロで形状最適化（7）（4/6 ページ）

原理原則を押さえていれば、高額なソフトウェアを用意せずとも「パラメトリック最適化」「トポロジー最適化」「領域最適化」といった“形状最適化”手法を試すことができる！　本連載ではフリーのFEM（有限要素法）ソフトウェア「LISA」と「Excel」のマクロプログラムを用いた形状最適化にチャレンジする。連載第7回では、いよいよLISAとExcelマクロを使って、片持ちはりのトポロジー最適化を行う！

[高橋良一／ＲＴデザインラボ 代表，MONOist]

片持ちはりのトポロジー最適化

　Excelに戻ります。図17のA4セルに注目してください。世代が1世代進んでいます。第2世代以降はA4セルをプログラムが更新します。［Read liml file］ボタンを押して、続けて［λ search］ボタンも押下してください。

図17　第2世代以降の解析手順［クリックで拡大］

　ρ_iの分布を図18に示します。何やら骨が生えてきました。N6〜8セルに注目します。ρ_iの最大値が0.475［-］、最小値が0.275［-］になりました。ρ_iの最大値／最小値が「1」と「0」になるまでを目安として、この作業を繰り返します。ρ_iの平均値が0.375［-］を維持していることを確認しておきます。

図18　ρ_iの分布［クリックで拡大］

　次に［Write liml file］ボタンを押して、次の世代のLISAファイルを生成します。このような作業を16回くらい繰り返します。

最適化結果の評価

　図19に、ρ_i分布の変化を示します。黒色の部分のρ_iは「1」で、白色の部分のρ_iは「0」です。ρ_i＝1の領域が最適化形状を示しています。ρ_i＝0の領域は肉抜き部です。少しグレー（灰色）のところがありますが、これ以上進めると大切な小骨が消滅してしまうので、人間の判断で終了します。最終形状よりも、それに至るまでの過程を見ている方が楽しいですね。

図19　ρ_iの変化［クリックで拡大］

　では、参考文献［1］の結果と比較してみましょう。参考文献［1］は「均質化法」なのでやり方が異なるのですが、“ほぼ同じ最適化形状”となっています。参考文献［1］で示されている通りパラメータを変えることによって、最適化形状は1つではなくいろいろなパータンが存在します。

　図20に、f（ρ₁、ρ₂、ρ₃……ρ_ne）の変化を示します。この量は物体に蓄えられる仕事量（ひずみエネルギー）ですが、平均コンプライアンスでもあり、はりの剛性の逆数でもあります。物体に蓄えられる仕事量が順調に小さくなっています。つまり、剛性最大化ができています。第5世代くらいで底を打っていますが、最適解というのはグレー領域がある状態だといえます。肉抜きではなく、物体の一部を軽石のようにするのが最適解だと解釈できます。

図20　f（ρ）の変化［クリックで拡大］

　以上がトポロジー最適化の手順です。次回はいろいろな問題について、トポロジー最適化手法を使って形状を創造していきます。お楽しみに！　（次回へ続く）

※次ページ以降は、今回の内容に関連する「付録（プログラムリスト）」となります。

参考文献：

・［1］K.Suzuki，N.Kikuchi｜A homogenization method for shape and topology optimization｜Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 93 P291-318（1991）