「熱」と「流れ」を電気回路に置き換えてモデリングする：1Dモデリングの勘所（5）（3/4 ページ）

「1Dモデリング」に関する連載。連載第5回では、「熱」と「流れ」に着目して、電気との類似性を利用したモデリング方法を取り上げる。熱と流れは電気回路に置き換えることができ、いわゆる「オームの法則」が成り立つ。この関係を利用した「熱回路網モデル」と「流路網モデル」のモデリング方法とその解法を解説する。

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

流路網モデル

　熱の場合と同様に、流体の流れを“流路”に見立てて流路網モデルとして考える。図1で流れは、以下の常微分方程式（式2）で表現できることを示した。

式2

　式2の左辺第1項は流路内の流体の慣性項、第2項は流路抵抗項、第3項はタンクに代表される容量項であるが、ここでは第2項の流路抵抗項について考える。

　図11に電気と流れの類似性を示す。電気抵抗に相当するのが、流れでは流路抵抗になる。電気では抵抗による電圧降下はRiとなるが、流れでは抵抗による圧力降下（損失）はRQ²となる。圧力損失はこの形式では常に流れの方向に関係なく常に“正の値”となるため、方向性を表現するために「RQ｜Q｜」と表記する。電気の電圧源に相当するのが、流れでは圧力発生源で、具体的には「ファン」や「ポンプ」といった流体機械のことである。

図11　電気と流れの類似性［クリックで拡大］

　圧力発生源の例として、家電用ファンの特性を図12に示す。横軸に流量、縦軸に圧力をとって、ピンク色の線でファン特性を示す。圧力×流量がパワー（仕事率）である。このファン特性と流路全体の抵抗（システム抵抗：一般的に流量の2乗に比例）の交点が運転点となる。

図12　圧力発生源の例［クリックで拡大］

　次に、特性を一次近似した場合の圧力発生源のモデリング例を示す（図13）。ここでは、流量は回転数に比例し、大きさの3乗に比例する、圧力は回転数の2乗に比例し、大きさの2乗に比例するという知見を反映している。

図13　圧力発生源のモデリング例［クリックで拡大］

　図14に圧力発生源とシステム抵抗の平衡点（運転点）を算出する事例を示す。圧力発生源の特性（回転数も含む）、システム抵抗を与えて、流量と圧力を算出する。

図14　圧力発生源とシステム抵抗の平衡点（運転点）［クリックで拡大］

　以上の予備検討を経て、図15に示す流路網モデルを作成する。熱回路網モデルと同様に、分岐点における流量の連続条件（キルヒホッフの第一法則）と閉回路における圧力の閉合条件（キルヒホッフの第二法則）を適用する。

図15　流路網モデル［クリックで拡大］