0Dモデリングとは？ 理論・経験に基づく理論式・経験則が究極の1Dモデリング!?：1Dモデリングの勘所（3）（2/3 ページ）

「1Dモデリング」に関する連載。連載第3回は、理論・経験に基づく理論式・経験則が究極の1Dモデリングであることを、0Dモデリングの定義、3Dモデリングとの関係、幾つかの事例を通して説明する。また、理論・理論式を考えるに当たって重要な“単位”に関して、なぜ単位が必要なのかその経緯も含めて紹介する。

[大富浩一／日本機械学会 設計研究会，MONOist]

理論と理論式：材料力学／機械力学の例

　次に、材料力学／機械力学の事例を通して理論・理論式を考える。

　図4に示すように、柱状の構造物が荷重を受けている場合を例とする。この荷重が静的な場合には、“力と変位は比例する”というフックの法則が成立する。これが材料力学という分野で、この法則から基本形状の変位、応力を理論的に導出、理論式で示すことができる。一方、荷重が動的に作用する場合には、フックの法則に加えて、“弾性力と慣性力が釣り合う”というニュートンの「運動の第2法則」が成立し、図に示すような理論式で表現できる。種々の仮定の下、この理論式を用いることにより、例えば両端自由端を有する柱の固有振動数を、

式2

と定義できる。すなわち、柱の長さL、縦弾性係数E、密度ρが分かれば、常識から簡単に固有振動数を予測することが可能となる。なお、nは正の整数（自然数）である。

図4　材料力学／機械力学における理論と理論式［クリックで拡大］

　同様の手順で、連続体の荷重形態による分類と、その理論式と指標（固有振動数）を求めた結果を図5に示す。

図5　連続体の荷重形態による分類と、その理論式と指標（固有振動数）［クリックで拡大］

単位について

　現象を理解、定式化していく場合には“単位”（参考文献［2］）を正しく把握しておくことが重要である。

　単位は、歴史的に見ると国によってさまざまである。各国が単独で活動していた時代は、これで大きな問題はなかったが、グローバル化の時代を迎えるに当たって弊害が明らかとなった。そこで「国際単位系（SI）」を定義し、これを使用することが求められている。SIは「基本単位」「組立単位」などから構成されている。基本単位としては表1に示すように、長さ：メートル（m）、質量：キログラム（kg）、時間：秒（s）、電流：アンペア（A）、温度：ケルビン（K）、物質量：モル（mol）、光度：カンデラ（cd）の7つがある。

表1　SI基本単位［クリックで拡大］

　一方、組立単位とは表1の7つの基本単位を組み合わせて、新たに定義した単位のことである。表2に主要な組立単位を示す。例えば、既に紹介したニュートンの運動の第2法則は、より正確に表現するならば“質量mの質点に力Fが作用すると、加速度aが生じ、その加速度aは力の大きさFに比例し、質量mに反比例する”となる。これを式で表現すると、

式3

となる。ここで、質量1kgの物体に、1m/s²の加速度が作用したときの力を1N（ニュートン）と定義している。従って表2からも明らかなように1N＝1kg・m・s⁻²である。

　ここで、少しややこしいのは取り扱う現象によって、単位は同じであっても呼び方が異なる点である。例えば、流体系の場合の圧力と材料力学における応力は同じPa（パスカル）である。また、エネルギー、仕事、熱量も呼び方は異なるが、全て単位はJ（ジュール）で、単位時間当たりのエネルギー、仕事、熱量が仕事率、パワー、放射束で単位はW（ワット）である。表2を見れば、このことは容易に理解できる。

表2　主要なSI組立単位［クリックで拡大］