円筒座標系の熱伝導について考える：CAE解析とExcelを使いながら冷却系設計を自分でやってみる（5）（2/4 ページ）
CAE解析とExcelを使いながら冷却系の設計を“自分でやってみる／できるようになる”ことを目指す連載。連載第5回は、円筒座標系の熱伝導方程式を解き、電線やダクトなど断面が円形のものの冷却系設計を考える。
導体内部の温度分布
解析モデルを「円筒状の絶縁被覆とお考えください」と述べましたが、今度は導体を考えます。導体は図3で示した内側半径r1がゼロの中実円筒（円柱）と考えることができます。導体内部の温度分布の計算では、前項のr1がここでは外径に等しくなるため、外径をrinnerと表記します。図4に解析モデルを示します。
導体内部の温度分布を求めましょう。マイナスのrの世界へ熱は移動できないため、r＝0での熱の流れはゼロとなり、次式が成立します（式10）。
熱流束は次式でした（式11）。
式11にr＝0を代入すると都合が悪くなります。よって、中実円筒の場合はC1＝0となります。
使うことのできる境界条件は、外周面の温度です。境界条件は以下です（式12）。
C1＝0と上式を式9に代入します（式13）。
さらに、上式を式9に代入します（式14）。
Tinnerは次に述べる被覆内の計算結果を使います。
被覆内部の温度分布
微分方程式の解（式11）をそのまま使いますが、被覆内部では発熱はないとします。導体での全発熱量は式15で表されます。注意が必要なのは式15のAは導体側の単位体積当りの発生熱量です。
図3の内周面（r＝r1）での熱流束は次式となります（式16）。
式16の関係を方程式の解である式11に代入します。式11のAは被覆側の発生熱量なのでゼロです。
被覆内部の熱流束は式18となります。
温度分布は次式となります（式19）。
境界条件を代入します。r＝r1でT＝T1、r＝r2でT＝T2ですね。
式20から式21を引き算しましょう。
上式は通過熱量と内周外周の温度差の関係式となり、参考文献［1］の式となりました。
次に、式20から式19を引き算します。
式24を式22で割り算しましょう。
式25も参考文献［1］に載っています。
熱伝達を含む伝熱計算は、主流の温度T∞が与えられ、熱伝達率を見積もって伝熱界面温度（この場合はT2）を求めるのが定石なので、式25ではなくT2を使った式を作ります。式21から式19を引き算します（式26）。
今度は式26を式22で割り算しましょう（式27）。
式27を式28のように変形します。
式28のT1−T2は式22の計算結果を代入することにし、被覆表面の温度T2は以下の式で求まります（式29、式30）。
参考文献：
- ［1］日本機械学会｜伝熱工学資料｜改訂第4版｜丸善（1999）
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